Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet des centres étrangers, constitue une base solide pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs compétences en modélisation. Il traite de la comparaison de tarifs énergétiques via des fonctions affines, de l'application de pourcentages et de la résolution d'inéquations linéaires. En mathématiques de spécialité, la maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder l'étude des fonctions plus complexes (comme les polynômes de second degré ou les fonctions exponentielles).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs réflexes sont nécessaires :
- Identifier le multiplicateur : Une baisse de 20 % correspond à multiplier par (1 - 0,20) = 0,80.
- Nature des fonctions : Reconnaître la forme f(x) = ax + b qui caractérise les fonctions affines, dont la représentation graphique est une droite.
- Comparaison de tarifs : Savoir traduire « plus avantageux » par l'inégalité f(x) < g(x) dans le cas d'un coût.
- Rigueur dans la résolution : Faire attention à l'ordre des termes lors de la soustraction et à la division par un nombre positif pour ne pas changer le sens de l'inégalité.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Identification du tarif :
Pour le Tarif A : 17 500 × 0,0609 + 202,43 = 1 065,75 + 202,43 = 1 268,18 €.
Le montant correspond exactement à l'énoncé. La famille a donc souscrit le Tarif A.
2. Évolution de la consommation :
a. Consommation 2017 : 17 500 × 0,80 = 14 000 kWh.
b. Montant en 2017 : f(14 000) = 14 000 × 0,0609 + 202,43 = 852,60 + 202,43 = 1 055,03 €.
Économies : 1 268,18 - 1 055,03 = 213,15 €.
3. Optimisation tarifaire :
a. Les fonctions f et g sont des fonctions affines. Leurs représentations graphiques sont des droites.
b. Résolution : 0,0609x + 202,43 < 0,0574x + 258,39
0,0609x - 0,0574x < 258,39 - 202,43
0,0035x < 55,96
x < 55,96 / 0,0035 => x < 15 988,57.
c. La consommation maximale au kWh près pour que le tarif A reste avantageux est de 15 988 kWh.