Analyse de l'énoncé : De l'algorithme à la fonction

Cet exercice, bien qu'originaire d'un sujet de fin de collège, pose les jalons fondamentaux du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la modélisation de processus numériques par des fonctions polynômes du second degré. L'objectif principal est de transformer des instructions algorithmiques (Programmes A et B) en expressions algébriques afin de les comparer et de résoudre une équation d'égalité.

Points de vigilance et notions requises

• Les Identités Remarquables : Le passage du programme A à sa forme développée nécessite la maîtrise de $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• Syntaxe Tableur : Savoir traduire une expression mathématique en formule (utilisation du symbole ^ pour la puissance et respect des références de cellules).
• Résolution d'Équations : Comprendre que l'égalité de deux expressions du second degré peut se simplifier en une équation du premier degré si les coefficients des termes de plus haut degré sont identiques.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Évaluation numérique (Programmes A et B)

Pour le programme A avec le nombre 1 :
On soustrait 3 : $1 - 3 = -2$.
On calcule le carré : $(-2)^2 = 4$. Le résultat est bien 4.

Pour le programme B avec le nombre -5 :
Carré du nombre : $(-5)^2 = 25$.
Ajout du triple du nombre de départ : $25 + 3 \times (-5) = 25 - 15 = 10$.
Ajout de 7 : $10 + 7 = 17$.

2. Utilisation du tableur

Dans la cellule B3, pour calculer le résultat du programme B à partir du nombre en B1, la formule est : =B1^2 + 3*B1 + 7 (ou =B1*B1 + 3*B1 + 7).

3. Modélisation algébrique et Équation

Programme A : Soit $x$ le nombre de départ. Le programme donne $(x-3)^2$. En développant, on obtient : $x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Programme B : On obtient directement $x^2 + 3x + 7$.

Pour trouver quand les deux programmes sont égaux, on résout :
$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 3x + 7$
En soustrayant $x^2$ des deux côtés, l'équation devient :
$-6x + 9 = 3x + 7$
$-9x = -2$
$x = \frac{2}{9}$.
Il existe donc un unique nombre, $2/9$, pour lequel les deux programmes renvoient le même résultat.