Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales en géométrie spatiale et en gestion des grandeurs, essentielles pour le programme de Première Spécialité. Il s'agit de manipuler la formule de l'aire d'une sphère et d'effectuer des conversions d'unités de mesure anglo-saxonnes (inches vers centimètres) pour vérifier la conformité d'un équipement sportif selon une norme précise.

Points de vigilance et notions requises

• Formule de l'aire : Savoir isoler une variable. Ici, l'aire $A$ est donnée par $4 \pi r^2$. Il faut en déduire le rayon $r$, puis le diamètre $D = 2r$.
• Unités : L'utilisation de l'inch (pouce) nécessite une conversion rigoureuse vers le système métrique avant toute comparaison.
• Précision : L'utilisation de la touche $\pi$ de la calculatrice est préférable à l'approximation 3,14 pour garantir la fiabilité du résultat final.

Correction détaillée

1. Le ballon du collégien français :

On connaît l'aire $A \approx 1950$ cm². Utilisons la formule $A = 4 \pi r^2$ pour trouver le rayon $r$ :
$1950 = 4 \times \pi \times r^2$
$r^2 = \frac{1950}{4\pi} \approx 155,176$
$r = \sqrt{\frac{1950}{4\pi}} \approx 12,457$ cm.

Le diamètre $D$ est égal à $2r$ :
$D = 2 \times 12,457 \approx 24,914$ cm.
La norme impose un diamètre entre 23,8 cm et 24,8 cm. Or 24,91 cm > 24,8 cm. Le ballon français ne respecte pas la norme.

2. Le ballon du correspondant anglais :

Le diamètre est $D = 9,5$ inches. On sait que 1 inch = 2,54 cm.
$D = 9,5 \times 2,54 = 24,13$ cm.
La valeur 24,13 cm est bien comprise entre 23,8 cm et 24,8 cm. Le ballon anglais respecte la norme.