Analyse de l'énoncé

Cet exercice issu du sujet Amérique du Sud 2018 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaye trois compétences clés de la géométrie : l'utilisation des rapports trigonométriques dans un triangle rectangle, les propriétés de conservation des transformations géométriques (symétrie centrale) et l'identification visuelle des transformations (homothétie vs translation).

Points de vigilance et notions de cours

• Trigonométrie : Il est crucial de bien identifier les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) par rapport à l'angle recherché. Rappel du moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.
• Symétrie Centrale : La symétrie de centre O est une rotation de 180 degrés. Elle possède une propriété fondamentale de conservation des mesures d'angles, des longueurs et des aires.
• Homothétie : Une homothétie transforme une figure en une autre par agrandissement ou réduction. Contrairement à la translation (glissement) ou à la rotation (pivot), elle modifie les dimensions tout en conservant les proportions et le parallélisme.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Dans le triangle ABC rectangle en A, nous cherchons la mesure de l'angle B. Nous connaissons le côté opposé AC = 3,5 cm et l'hypoténuse BC = 7 cm. Le rapport trigonométrique liant ces deux données est le sinus : sin(ABC) = opposé / hypoténuse = AC / BC = 3,5 / 7 = 0,5. En utilisant la calculatrice (touche arcsin ou sin⁻¹), on trouve ABC = 30 degrés. Réponse A.

Question 2 : Dans le triangle ABC, nous avons un angle droit en A (90°) et un angle en B donné à 35°. La somme des angles d'un triangle étant égale à 180°, l'angle C vaut : 180 - (90 + 35) = 55°. Puisque le triangle DEF est le symétrique de ABC par rapport à O, et que la symétrie centrale conserve les mesures d'angles, l'angle correspondant DEF (image de l'angle C) mesure également 55°. Réponse B.

Question 3 : En observant les deux figures, on constate que la Figure 2 est une reproduction de la Figure 1 mais avec des dimensions plus grandes. Il n'y a pas eu de simple glissement (translation) ni de pivotement (rotation). Ce changement d'échelle caractéristique définit une homothétie. Réponse B.

Conseils méthodologiques pour le QCM

Pour réussir un QCM en mathématiques, ne vous précipitez pas. Même si aucune justification n'est attendue, effectuez un schéma rapide ou un calcul au brouillon pour éliminer les 'distracteurs' (les mauvaises réponses qui semblent plausibles). Par exemple, pour la question 1, une erreur classique serait d'utiliser le cosinus au lieu du sinus.