Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une base de révision essentielle pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des concepts de géométrie plane qui sont les prérequis indispensables à l'étude de la géométrie repérée, du produit scalaire et des fonctions trigonométriques. L'étude porte sur la structure d'un moulin composée de quatre rectangles superposables, permettant d'aborder les transformations du plan (symétrie et rotation) ainsi que les relations métriques dans le triangle rectangle.
Points de vigilance et notions de cours
- Transformations : Il est crucial de bien distinguer la symétrie centrale (rotation de 180°) de la rotation d'un angle spécifique. En Première, ces notions sont prolongées par l'étude des vecteurs et des coordonnées.
- Configuration de Thalès : La justification du parallélisme est une étape clé. Ici, on utilise la propriété des droites perpendiculaires à une même troisième droite (propriété liée aux rectangles).
- Trigonométrie : Le choix de la relation (Cos, Sin ou Tan) dépend des données connues (côté adjacent, opposé ou hypoténuse).
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Transformation de FGHI vers PQRS : Les points F, A, P et G, A, Q sont alignés avec A comme milieu (puisque AB=AF=AJ=AP et les rectangles sont superposables). La transformation est donc une symétrie centrale de centre A.
2. Image de FGHI par rotation : Une rotation de centre A d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique) transforme l'axe horizontal (FG) en l'axe vertical (BC). L'image du rectangle FGHI est donc le rectangle BCDE.
3. Calculs géométriques :
- a. Justification du parallélisme : Dans le rectangle BCDE, (DC) est perpendiculaire à (BC). Comme V est sur [EB] et que (EB) est perpendiculaire à (BC), alors (VB) est perpendiculaire à (BC). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, donc (DC) // (VB).
- b. Calcul de DC : On applique le théorème de Thalès dans le triangle ADC avec (VB) // (DC). On a : AB/AC = AV/AD = VB/DC. En utilisant AB/AC = VB/DC, on obtient 10/30 = 4/DC. Par produit en croix : DC = (30 × 4) / 10 = 12 cm.
- c. Mesure de l'angle DAC : Dans le triangle ADC rectangle en C, on connaît le côté opposé DC = 12 et le côté adjacent AC = 30. On utilise la tangente : tan(DAC) = opposé / adjacent = 12 / 30 = 0,4. À l'aide de la calculatrice (Arctan), on trouve angle DAC ≈ 22° (arrondi au degré).