Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, issu de la session 2019 aux Antilles, constitue un excellent support pour réviser les bases de l'arithmétique et des probabilités. Bien qu'ancré dans un contexte concret de jeux de dés, il sollicite des compétences de raisonnement logique et de structuration d'ensembles numériques qui sont fondamentales pour le programme de Première Spécialité Mathématiques.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour aborder sereinement cette épreuve, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- Définition des ensembles : Il est crucial de ne pas se tromper sur la liste des nombres. Pour les nombres premiers, rappelons que 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur. La liste commence donc à 2.
- Calcul de probabilités : Dans une situation d'équiprobabilité (dés parfaitement équilibrés), la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues (ici 6 par dé).
- Décomposition en facteurs : Savoir décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers est indispensable pour résoudre les problèmes de produit imposé.
Guide de résolution détaillé
1. Identification des faces des dés :
- Le deuxième dé contient les six plus petits nombres impairs positifs : {1, 3, 5, 7, 9, 11}.
- Le troisième dé contient les six plus petits nombres premiers : {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
2. Analyse des lancers de Zoé et Léo :
Zoé utilise le dé n°3. Si le carré de son résultat est 25, cela signifie que $x^2 = 25$, donc $x = 5$ (le nombre sur la face est positif). Le nombre lu était donc 5. Léo utilise le dé n°1 dont les faces sont {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Pour que son carré soit strictement supérieur à 25, Léo doit obtenir un nombre $y$ tel que $y > 5$. Les issues favorables sont {6, 8, 10, 12}, soit 4 issues sur 6. La probabilité recherchée est $P = 4/6 = 2/3$.
3. Le défi de Mohamed :
Mohamed obtient un produit de 525 en quatre lancers. Décomposons 525 en facteurs : $525 = 5 \times 105 = 5 \times 5 \times 21 = 5 \times 5 \times 3 \times 7$. Les nombres obtenus sont donc nécessairement 3, 5, 5 et 7. Ces quatre nombres appartiennent à la fois à l'ensemble des faces du dé n°2 et du dé n°3. Par conséquent, s'il est possible de déterminer les nombres obtenus (3, 5, 5 et 7), il est impossible d'affirmer avec certitude quel dé (le 2 ou le 3) a été choisi.