Analyse de l'énoncé : Les maths au service de la chocolaterie

Cet exercice, issu de l'épreuve du Brevet des Collèges 2022 (Centres étrangers), est particulièrement intéressant car il mobilise deux grands domaines du programme de troisième : l'Arithmétique et les Volumes. Il est scindé en deux parties indépendantes mais contextualisées autour d'une situation concrète : la distribution de truffes au chocolat.

Points clés de la Partie 1 : L'Arithmétique du PGCD

La première partie est un exercice classique de recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). L'objectif est de trouver le nombre maximal de boîtes identiques en utilisant la totalité des 125 truffes au café et des 175 truffes à la noix de coco. La méthode demandée explicitement est la décomposition en facteurs premiers.

• Étape 1a (Décomposition) : Il faut écrire $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$ et $175 = 5 \times 5 \times 7 = 5^2 \times 7$.
• Étape 1b (Diviseurs communs) : Les diviseurs communs sont formés par les facteurs premiers communs (ici, seulement 5) avec les exposants minimums. Les diviseurs sont $5^0 = 1$, $5^1 = 5$, et $5^2 = 25$.
• Étape 1c (Nombre maximal) : Le nombre maximal de boîtes est le PGCD, soit $25$.
• Étape 1d (Contenu) : Chaque boîte contiendra $125 \div 25 = 5$ truffes au café et $175 \div 25 = 7$ truffes coco, soit 12 truffes en tout.

Points clés de la Partie 2 : Comparaison de Volumes

La seconde partie est purement géométrique. Elle nécessite de maîtriser le calcul de volumes pour trois figures : la boule (assimilée à la truffe), la pyramide et le pavé droit. La difficulté réside dans la condition : le volume occupé par les truffes ($V_T$) doit être supérieur au volume non occupé ($V_{non-occupé}$).

Cette condition se traduit mathématiquement par $V_T > V_{\text{boîte}} - V_T$, ce qui simplifie l'inégalité à $2 \times V_T > V_{\text{boîte}}$.

• Calcul de $V_T$ : Le diamètre est $1,5$ cm, donc le rayon $r=0,75$ cm. Il faut calculer le volume d'une truffe ($V_{boule} = \frac43 \pi r^3$) et le multiplier par $12$.
• Calcul de $V_{\text{Pyramide}}$ (Type A) : $V_{\text{Pyramide}} = \frac{\text{côté}^2 \times \text{hauteur}}{3} = \frac{4,8^2 \times 5}{3}$.
• Calcul de $V_{\text{Pavé droit}}$ (Type B) : $V_{\text{Pavé droit}} = L \times l \times H = 5 \times 3,5 \times 3,5$.

En comparant $2 \times V_T$ avec les volumes A et B, l'élève peut déterminer quel(s) type(s) de boîte(s) valide(nt) la condition pour le transport des truffes.