Analyse de l'énoncé : Programme de calculs et Calcul littéral
Cet exercice, issu de l'épreuve du Brevet 2022 (Amérique du Nord), est un classique incontournable de la classe de 3ème. Il combine l'application d'un programme de calculs, l'utilisation d'un tableur (Partie A) et surtout la démonstration par calcul littéral (Partie B), compétence essentielle pour le DNB.
Le programme de calculs est simple : 'Calculer le carré du nombre de départ, puis ajouter le nombre de départ.' Si $x$ est le nombre choisi, l'expression littérale associée est $x^2 + x$.
Partie A : Application et Outil Tableur
La première partie permet de vérifier la compréhension de l'énoncé. La question 1 est une application numérique simple ($15^2 + 15 = 225 + 15 = 240$). La question 2 évalue la capacité à traduire une opération mathématique en formule tableur. Si le nombre de départ est dans la cellule A2, le résultat dans B2 est obtenu par la formule : =A2*A2+A2 ou =A2^2+A2. La question 3 formalise le programme en écriture algébrique : $x^2 + x$. Cette expression est la clé pour la suite de l'exercice.
Partie B : Démonstration Algébrique et Propriétés des Nombres
La Partie B demande une démarche de démonstration rigoureuse. L'affirmation à prouver est que le résultat est équivalent au produit du nombre de départ par le nombre entier qui suit, soit $x imes (x+1)$.
Points clés pour la démonstration (Q5)
- L'expression du programme de calcul est $x^2 + x$.
- L'expression de l'affirmation est $x(x+1)$.
- Pour prouver l'égalité, on utilise la factorisation : $x^2 + x = x imes x + x imes 1$. En factorisant par le facteur commun $x$, on obtient $x(x+1)$. L'affirmation est donc mathématiquement prouvée pour tout nombre entier $x$.
Démonstration de la parité (Q6)
Le résultat du programme est toujours le produit de deux nombres entiers consécutifs, $x$ et $x+1$. Dans toute paire de nombres consécutifs, il y en a nécessairement un qui est pair. Or, le produit d'un nombre entier (pair ou impair) par un nombre pair donne toujours un résultat pair. Par conséquent, le nombre obtenu à l'arrivée est un multiple de 2, et donc toujours un nombre pair, quelle que soit la valeur entière choisie au départ.