Analyse de l'énoncé : Les quatre piliers du DNB
Cet exercice, typique du Brevet, mobilise plusieurs compétences fondamentales. Il commence par la géométrie plane dans un triangle rectangle (modélisant un poteau électrique), puis introduit des notions de vitesse et distance, pour culminer avec l'application du puissant Théorème de Thalès afin de déterminer des longueurs inconnues dans une configuration de triangles emboîtés. Maîtriser ce type d'exercice assure de précieux points à l'examen.
Partie 1 & 2 : Géométrie du triangle rectangle (Pythagore et Trigonométrie)
La première étape consiste à utiliser le Théorème de Pythagore dans le triangle ABC, rectangle en B (le poteau est vertical). La longueur du câble [AC] est l'hypoténuse. Si $AB=3,9$ m et $BC=5,2$ m, alors $AC^2 = 3,9^2 + 5,2^2 = 42,25$, confirmant $AC = 6,5$ m. Ensuite, pour calculer l'angle $\widehat{ ext{ACB}}$, la Trigonométrie est nécessaire. En utilisant la tangente ($ an = ext{Opposé} / ext{Adjacent}$), on trouve $ an(\widehat{ ext{ACB}}) = 3,9 / 5,2 = 0,75$. L'angle est donc d'environ $37^\circ$ au degré près.
Partie 3 & 5 : Vitesse et Durée du Trajet
Les questions 3 et 5 portent sur les calculs de durée ($T = D/V$). Le premier trajet direct [AC] dure $6,5 / 0,2 = 32,5$ secondes.
Partie 4 : Le Théorème de Thalès
Le chemin CFHA introduit une configuration de Thalès. Puisque le poteau [BC] est vertical et que le segment [FH] est également vertical (perpendiculaire au sol [AB]), alors les droites (FH) et (BC) sont parallèles. Dans le triangle ABC, avec F sur [AC] et H sur [AB], nous appliquons le théorème : $ rac{AF}{AC} = rac{AH}{AB} = rac{FH}{BC}$. En utilisant la donnée $AF=4$ m issue du schéma 2 et $AC=6,5$ m, on obtient le rapport $4/6,5$.
- Calcul de FH : $FH = 5,2 imes (4 / 6,5) = 3,2$ m.
- Calcul de HA : $HA = 3,9 imes (4 / 6,5) = 2,4$ m.
- La longueur CF est $6,5 - 4 = 2,5$ m.
Conclusion : Qui est la plus rapide ?
Le temps du deuxième trajet (CFHA) se calcule en segmentant par vitesse : $T_{CF} = 2,5 / 0,2 = 12,5$ s; $T_{FH} = 3,2 / 0,8 = 4$ s; $T_{HA} = 2,4 / 0,2 = 12$ s. Le temps total $T_2 = 12,5 + 4 + 12 = 28,5$ secondes. Comparé au temps $T_1 = 32,5$ secondes, l'araignée qui choisit le chemin CFHA est la plus rapide.