Analyse de l'énoncé : Modélisation et Fonctions

Cet exercice est un grand classique du Brevet qui teste votre capacité à faire le lien entre les outils mathématiques (fonctions et équations) et une situation concrète (un problème de mouvement ou de rattrapage). Nous étudions ici deux fonctions affines : $f(t) = 4t + 3$ et $g(t) = 6t$, représentant les distances parcourues par Camille et Claude.

La clé de la réussite réside dans la compréhension de la modélisation, notamment comment l'avance initiale de Camille se traduit mathématiquement par l'ordonnée à l'origine (+3) de sa fonction de distance.

Points clés et Méthodes à maîtriser

• Fonctions Affines et Linéaires (Q1) : Rappelez-vous qu'une fonction linéaire comme $g(t) = 6t$ a une représentation graphique qui passe par l'origine O(0, 0). Une fonction affine comme $f(t) = 4t + 3$ a une ordonnée à l'origine non nulle (ici, le point (0, 3)). De plus, le coefficient directeur (la vitesse) indique la pente de la droite. Puisque $6 > 4$, la droite $(d_1)$ associée à $g(t)$ doit être plus raide.
• Résolution d'Équation (Q2) : Résoudre $f(t) = g(t)$ permet de trouver l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Cela représente le moment où les deux randonneurs sont à la même distance (le rattrapage). Algébriquement, on obtient $4t + 3 = 6t$, ce qui se résout facilement en isolant $t$.
• Conversion d'Unités (Q3) : Le piège habituel est de ne pas convertir les 45 minutes en heures. Puisque la vitesse est en km/h, le temps $t$ doit être en heures : $45 ext{ min} = 45/60 = 0,75$ h. La distance déjà parcourue est donc $4 imes 0,75 = 3$ km.
• Modélisation du Mouvement (Q4) : La distance totale parcourue par Camille est la somme de sa distance d'avance (3 km) et de la distance parcourue pendant le temps $t$ écoulé après le départ de Claude ($4t$). D'où $D_{ ext{Camille}}(t) = 4t + 3$.
• Interprétation du Résultat (Q5) : Le temps trouvé en résolvant l'équation $4t + 3 = 6t$ donne directement le temps $t$ en heures que Claude met pour rattraper Camille, depuis son propre départ.