Analyse de l'énoncé et stratégie
Cet exercice de géométrie appliquée est un excellent exemple de la nécessité de la "prise d'initiatives" au Brevet. L'objectif est de vérifier si l'angle de pente du fond du bassin d'aquaculture, noté $\widehat{\text{EBA}}$, est compris entre $0,1^{\circ}$ et $0,2^{\circ}$. Pour y parvenir, nous devons déterminer la hauteur de la pente ($AE$) et utiliser la trigonométrie (la fonction tangente) dans le triangle rectangle $EAB$.
Points clés : Détermination des longueurs
Pour appliquer les formules trigonométriques, nous devons connaître les dimensions du triangle rectangle formé par la pente du fond ($EB$), la distance horizontale ($AB$), et la différence de hauteur ($AE$).
- La distance horizontale $AB$ est donnée : $AB = 150$ m.
- La hauteur totale du mur $AC$ est de $3,2$ m.
- Nous savons que $E$ est sur le segment $AC$ et que $CE = 2,8$ m.
- La hauteur $AE$ est la hauteur verticale de la pente par rapport au sol $A$. Nous la calculons par soustraction : $AE = AC - CE = 3,2 \text{ m} - 2,8 \text{ m} = 0,4 \text{ m}$.
Calcul de l'angle par la Trigonométrie
Le triangle $EAB$ est rectangle en $A$. Nous cherchons l'angle $\widehat{\text{EBA}}$. Nous avons le côté opposé ($AE$) et le côté adjacent ($AB$). Nous utilisons donc la tangente : $\tan(\widehat{\text{EBA}}) = \frac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjacent}} = \frac{AE}{AB}$.
Substitution des valeurs : $\tan(\widehat{\text{EBA}}) = \frac{0,4}{150}$.
Pour trouver l'angle, nous utilisons la fonction arc tangente ($\tan^{-1}$) :
$$\widehat{\text{EBA}} = \arctan\left(\frac{0,4}{150}\right)$$
En utilisant la calculatrice (mode degrés) : $\widehat{\text{EBA}} \approx 0,1528^{\circ}$.
Conclusion et justification
Le bassin est considéré comme bien construit si l'angle $\widehat{\text{EBA}}$ est compris entre $0,1^{\circ}$ et $0,2^{\circ}$.
Nous avons obtenu $\widehat{\text{EBA}} \approx 0,1528^{\circ}$.
Puisque $0,1^{\circ} < 0,1528^{\circ} < 0,2^{\circ}$, le bassin est bien construit. Cette conclusion justifie la réponse demandée par l'énoncé.