Analyse de l'énoncé : Polyvalence Mathématique pour le Brevet

Cet exercice, issu du Brevet 2014 (Asie), est un excellent exemple d'exercice de type « Vrai ou Faux justifié ». Ce format, très apprécié au DNB, exige de l'élève une rigueur absolue dans la justification, qu'elle soit par le calcul (pourcentages, algèbre) ou par un contre-exemple (arithmétique).

Les notions mobilisées sont cruciales pour la classe de Troisième : le calcul de pourcentages, les propriétés du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le développement d'expressions littérales.

Détail et Justification des Affirmations

Cas 1 : Les Pourcentages (Affirmation 1)

L'affirmation porte sur la réduction de 30 % accordée aux étudiants par rapport au plein tarif. Le plein tarif est de 9,50 € et le tarif étudiant de 6,65 €.

• Calcul de la réduction en euros : $9,50 - 6,65 = 2,85 €$.
• Calcul du taux de réduction : $Taux = \frac{\text{Montant de la réduction}}{\text{Plein tarif}} \times 100$.
• $Taux = \frac{2,85}{9,50} \times 100 = 0,30 \times 100 = 30 \%$.

Alternativement, vérifier que $9,50 \times (1 - 0,30) = 9,50 \times 0,70 = 6,65 €$. L'affirmation 1 est donc VRAIE.

Cas 2 : L'Arithmétique et le PGCD (Affirmation 2)

L'affirmation stipule que PGCD$(a~;~b) = a - b$. Bien que nous sachions que PGCD$(a~;~b) = $ PGCD$(a - b~;~b)$ (propriété d'Euclide), l'égalité proposée est fausse dans le cas général. Pour justifier qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit.

• Prenons $a = 15$ et $b = 5$. PGCD$(15~;~5) = 5$. Or $a - b = 15 - 5 = 10$. Comme $5 \ne 10$, l'affirmation 2 est FAUSSE.

On peut aussi prendre $a = 10$ et $b = 4$. PGCD$(10~;~4) = 2$. Et $a - b = 6$. $2 \ne 6$.

Cas 3 : Le Calcul Littéral (Affirmation 3)

L'expression $A$ est le produit de $(x + 5)$ par $(2x - 1)$, soit $A = (x + 5)(2x - 1)$. On doit vérifier si son développement est $A = 2x^2 + 9x - 5$. Nous utilisons la double distributivité :

• $A = x(2x) + x(-1) + 5(2x) + 5(-1)$
• $A = 2x^2 - x + 10x - 5$
• $A = 2x^2 + 9x - 5$

Le développement correspond exactement à l'affirmation. L'affirmation 3 est donc VRAIE.

Points clés à retenir pour le DNB

• Maîtriser le calcul de pourcentage (utiliser le coefficient multiplicateur $1 \pm t$).
• Savoir utiliser des contre-exemples pour invalider une propriété arithmétique.
• Être irréprochable sur la double distributivité en algèbre.