Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du Brevet 2014 en Polynésie, est un excellent exemple de la manière dont la géométrie (Pythagore, périmètres) et l'algèbre (équations) s'entremêlent au niveau 3ème. Il débute par une vérification classique de la nature d'un triangle et évolue vers une problématique de minimisation de distance et, plus important encore, de résolution d'une équation complexe basée sur des périmètres.

Le point clé de la partie 3c est de savoir modéliser la position du point P par une variable ($x$), puis de simplifier l'équation des périmètres, démontrant qu'une connaissance approfondie des formules de périmètre permet de résoudre un problème apparemment dépendant d'une longueur inconnue (BP).

Points clés et méthodes de résolution

• Question 1 & 2 : Réciproque de Pythagore. Il faut identifier le côté le plus long, ici [AC] (9,2 cm), et vérifier si $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Si l'égalité n'est pas vérifiée (comme c'est le cas ici), le triangle n'est pas rectangle. Rappel : $9.2^2 = 84.64$ tandis que $5^2 + 7.6^2 = 25 + 57.76 = 82.76$. L'égalité est fausse, le triangle ABC n'est pas rectangle.
• Question 3a : Distance minimale. La distance la plus courte entre un point (B) et une droite (AC) est toujours atteinte lorsque le segment (BP) est perpendiculaire à la droite (AC). Le point P doit donc être placé de manière à ce que (BP) soit la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
• Question 3c : Équation des périmètres. C'est la question la plus algébrique. Soit $x = AP$. Alors $PC = AC - x = 9,2 - x$. L'objectif est d'avoir Périmètre(ABP) = Périmètre(BPC).
  • P(ABP) = $AB + BP + AP = 5 + BP + x$
  • P(BPC) = $BC + BP + PC = 7,6 + BP + (9,2 - x)$
  Égalisons les deux expressions : $5 + BP + x = 7,6 + BP + 9,2 - x$. L'étape cruciale est d'observer que la longueur $BP$, bien qu'inconnue, s'annule des deux côtés de l'équation. Nous obtenons $5 + x = 16,8 - x$. La résolution de cette simple équation du premier degré en $x$ permet de trouver la position exacte de P.