Analyse de l'énoncé et Modélisation Algébrique

Cet exercice du Brevet 2014 est un classique demandant la traduction d'un programme de calculs, présenté sous forme d'organigramme, en une expression algébrique. La maîtrise du calcul littéral et des équations est centrale pour réussir cette épreuve.

Soit $x$ le nombre choisi au départ. Le programme de calculs se décompose ainsi :

• Première branche : Soustraire 6, soit $x - 6$.
• Deuxième branche : Soustraire 2, soit $x - 2$.
• Résultat final : Multiplier les deux nombres obtenus, d'où la fonction $R(x) = (x - 6)(x - 2)$.

Pour répondre à l'ensemble des questions, et notamment à la Proposition 4, il est nécessaire de développer cette expression en utilisant la double distributivité : $R(x) = x^2 - 2x - 6x + 12$. D'où : $R(x) = x^2 - 8x + 12$.

Points clés et Démonstrations

• Question 1 : Vérification initiale. Si $x=8$, nous calculons $R(8) = (8 - 6) imes (8 - 2) = 2 imes 6 = 12$. La vérification est correcte et valide la modélisation.
• Proposition 3 : Résolution d'une équation produit nul. Le programme donne 0 si $R(x) = 0$. Il faut donc résoudre $(x - 6)(x - 2) = 0$. D'après la propriété de l'équation produit nul, on a $x - 6 = 0$ ou $x - 2 = 0$. Les solutions sont $x=6$ et $x=2$. Il existe bien exactement deux nombres, donc la proposition est VRAIE.
• Proposition 4 : Nature de la fonction. La fonction $R(x) = x^2 - 8x + 12$ contient un terme au carré ($x^2$). Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$. Puisque $R(x)$ est une fonction polynomiale de degré 2 (quadratique), elle n'est pas linéaire. La proposition est FAUSSE.
• Proposition 1 : Résultat négatif. L'expression $R(x)=(x-6)(x-2)$ représente une parabole. Les racines sont 2 et 6. Entre les racines, le résultat est négatif (par exemple, si $x=4$, $R(4) = (4-6)(4-2) = (-2)(2) = -4$). Le programme peut donc donner un résultat négatif. La proposition est VRAIE.
• Proposition 2 : Calcul fractionnaire. Si $x = 1/2$ : $R(1/2) = (1/2 - 6) imes (1/2 - 2)$. Convertissons en fractions : $1/2 - 12/2 = -11/2$ et $1/2 - 4/2 = -3/2$. Le résultat est $R(1/2) = (-11/2) imes (-3/2) = 33/4$. La proposition est VRAIE.