Analyse de l'énoncé et identification des outils

Cet exercice de géométrie, tiré du Brevet 2014 en Polynésie, modélise l'étayage d'un mur de construction. Il est essentiel de traduire la description en propriétés géométriques. L'énoncé stipule que les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires, ce qui nous assure que le triangle ABE est un triangle rectangle en A. C’est le signal immédiat pour mobiliser le Théorème de Pythagore.

La deuxième partie de l'exercice introduit les points C et D, alignés respectivement sur [AB] et [BE], et nécessite que la barre [CD] soit parallèle à [AE]. Cette configuration classique de triangles emboîtés avec des droites parallèles (C sur [AB], D sur [BE], et (CD)//(AE)) est la condition parfaite pour appliquer le Théorème de Thalès.

Points clés

• Question 1 : Calculer BE. Le triangle ABE est rectangle en A. Nous appliquons le Théorème de Pythagore : $BE^2 = AB^2 + AE^2$.
• Question 2 : Calculer BC. Si (CD) et (AE) sont parallèles, nous appliquons le Théorème de Thalès, en utilisant le point B comme sommet principal : $\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BE} = \frac{CD}{AE}$.

Corrigé Détaillé : Calculs des longueurs

1. Calcul de BE (Pythagore)

Dans le triangle ABE rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :

$\qquad BE^2 = AB^2 + AE^2$

$\qquad BE^2 = (3,5)^2 + (2,625)^2$

$\qquad BE^2 = 12,25 + 6,890625$

$\qquad BE^2 = 19,140625$

$\qquad BE = \sqrt{19,140625} = 4,375 \text{ m}$

2. Calcul de la distance BC (Thalès)

Les barres [CD] et [AE] sont parallèles. Les points B, C, A et B, D, E sont alignés. D'après le Théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports :

$\qquad \frac{BC}{BA} = \frac{CD}{AE}$

Nous remplaçons par les valeurs connues :

$\qquad \frac{BC}{3,5} = \frac{1,5}{2,625}$

Nous isolons BC :

$\qquad BC = 3,5 \times \frac{1,5}{2,625} = \frac{5,25}{2,625}$

$\qquad BC = 2 \text{ m}$

Il faut donc placer le point C à 2 mètres de B pour assurer le parallélisme de l'étayage.