Analyse de l'énoncé et Contexte Géométrique
Cet exercice, issu du Brevet 2014 (Amérique du Nord), est une application concrète de la Géométrie dans l'espace et mobilise de manière essentielle le Théorème de Pythagore. L'objectif est de vérifier si la hauteur du siège pliant (segment CE) est comprise dans l'intervalle recommandé : entre 44 cm et 46 cm.
La difficulté de cet exercice réside dans le fait qu'il est nécessaire d'appliquer le Théorème de Pythagore à deux reprises pour trouver la hauteur CE. Nous travaillons dans un prisme dont la base supérieure ABDC est un rectangle (ce qui nous permet de trouver une diagonale) et où le triangle ACE est rectangle en C (ce qui nous permet de calculer la hauteur CE).
Points clés et Méthodologie
- Le siège a des dimensions d'assise de 34 cm par 31 cm (AB=34, BC=31).
- ABDC est un rectangle, la diagonale AC est donc l'hypoténuse du triangle ABC rectangle en B.
- La longueur des pieds, soit la distance entre le point d'appui au sol et le pivot (AE), est de 56 cm. AE est l'hypoténuse du triangle de hauteur ACE, rectangle en C.
- Il faut d'abord calculer la longueur de la diagonale AC, puis utiliser cette longueur pour calculer la hauteur CE.
Étape 1 : Calcul de la diagonale AC
Dans la surface du siège (rectangle ABDC), nous considérons le triangle ABC. Puisque ABDC est un rectangle, le triangle ABC est rectangle en B. D'après le Théorème de Pythagore :
$$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2$$
Avec $\text{AB} = 34$ cm et $\text{BC} = 31$ cm :
$$\text{AC}^2 = 34^2 + 31^2$$
$$\text{AC}^2 = 1156 + 961$$
$$\text{AC}^2 = 2117$$
Nous gardons la valeur exacte $\text{AC}^2 = 2117$ pour l'étape suivante.
Étape 2 : Calcul de la hauteur CE
La hauteur du siège correspond à la longueur CE. Nous utilisons le triangle ACE, qui est rectangle en C. L'hypoténuse est le pied AE = 56 cm. D'après le Théorème de Pythagore :
$$\text{AE}^2 = \text{AC}^2 + \text{CE}^2$$
D'où :
$$\text{CE}^2 = \text{AE}^2 - \text{AC}^2$$
$$\text{CE}^2 = 56^2 - 2117$$
$$\text{CE}^2 = 3136 - 2117$$
$$\text{CE}^2 = 1019$$
En prenant la racine carrée :
$$\text{CE} = \sqrt{1019} \approx 31,92 \text{ cm}$$
Conclusion
La hauteur du siège est d'environ 31,92 cm. Nicolas a besoin d'une hauteur comprise entre 44 cm et 46 cm. Puisque $31,92 < 44$, la hauteur de ce siège n'est pas adaptée à Nicolas. Cet exercice montre qu'il est crucial de bien identifier les triangles rectangles dans les figures 3D pour appliquer correctement le théorème de Pythagore.