Analyse de l'énoncé : L'Algorithme d'Euclide caché dans le Tableur

Cet exercice du Brevet 2014 est un classique de la transition entre l'Arithmétique théorique et son application pratique via le Tableur. Il exploite directement l'Algorithme d'Euclide par soustractions successives, une méthode essentielle pour déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux nombres.

Points clés et Méthodologie

• Question 1 : Formule de la différence (colonne C)

  En observant la première ligne (216, 126, 90), il est clair que la cellule C1 est obtenue par la soustraction A1 - B1 (216 - 126 = 90). La formule à recopier vers le bas est donc simplement =A1-B1. Cette formule est valable pour toute la colonne C (C2 = A2 - B2, etc.).

• Question 2 : Le cœur de l'algorithme (Fonctions MAX et MIN)

  Pour que l'algorithme d'Euclide continue correctement par soustraction, la nouvelle paire de nombres (A2, B2) doit reprendre les deux précédents termes (B1 et C1) en s'assurant que le plus grand des deux soit toujours placé en colonne A et le plus petit en colonne B. Le tableur nous aide ici en proposant les fonctions MAX et MIN.

  Pour la cellule A2, qui doit contenir le plus grand des deux nombres (B1 et C1) de la ligne précédente, la formule est : =MAX(B1; C1). En utilisant cette structure, l'algorithme s'exécute parfaitement en cascade.

• Question 3 : Détermination du PGCD

  L'Algorithme d'Euclide s'arrête lorsque la dernière différence est nulle. Le PGCD des deux nombres initiaux est la dernière différence non nulle calculée. Ici, la cellule C6 vaut 0 (car 18 - 18 = 0). Le nombre figurant dans la cellule C5, qui est 18, représente donc le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des nombres 216 et 126.

• Question 4 : Rendre la fraction irréductible

  Pour rendre la fraction 216/126 irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, que nous avons trouvé être 18.

  Calculs : $216 \div 18 = 12$ et $126 \div 18 = 7$. La fraction irréductible est $rac{12}{7}$.

Maîtriser la lecture et l'écriture de formules dans un tableur, même pour des concepts mathématiques complexes comme le PGCD, est une compétence très valorisée au Brevet.