Analyse de l'énoncé : L'Origami et la Géométrie Plane

Cet exercice, issu du Brevet 2014 en Nouvelle Calédonie, utilise le contexte esthétique de l'origami pour masquer un problème classique de géométrie plane impliquant un polygone régulier. Bien que la notion de « polygone régulier » puisse être considérée comme un sujet avancé (d'où la classification 'Hors programme'), les outils nécessaires à la résolution (angles au centre, propriétés des triangles isocèles et Théorème de Pythagore) sont fondamentaux au niveau 3ème.

Nous travaillons sur une figure ABCDEFGH de centre O, dérivée d'un pliage initial. L'objectif est d'identifier ce polygone, puis de calculer des mesures d'angles et enfin une longueur (AC) en utilisant les propriétés géométriques.

Points clés et Rappels Mathématiques

• Identification du Polygone : Il suffit de compter les sommets du polygone ABCDEFGH. S'il possède 8 côtés/sommets, c'est un octogone.
• Angle au centre : Dans tout polygone régulier à $n$ côtés, la mesure de l'angle au centre formé par deux sommets consécutifs et le centre O est donnée par la formule : $\widehat{AOB} = 360° / n$.
• Triangle Isocèle : Le triangle OAB est isocèle en O (car OA et OB sont des « rayons » du polygone régulier). Les angles à la base sont égaux : $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. La somme des angles d'un triangle est $180°$.
• Théorème de Pythagore : La question 4 (Calculer AC) est la plus décisive. Pour utiliser le Théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$) dans le triangle OAC, il faut prouver que ce triangle est rectangle en O. Si A, B, C sont consécutifs, alors $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}$. Si l'angle au centre est de 45°, alors $\widehat{AOC} = 90°$. C'est ce lien qui justifie l'utilisation de Pythagore.

Démarche Détaillée de Résolution

1. Question 1 : En comptant les sommets (A, B, C, D, E, F, G, H), on trouve 8 sommets. C'est donc un octogone.
2. Question 2 : L'angle au centre $\widehat{AOB}$ vaut $360° / 8 = 45°$.
3. Question 3 : Dans le triangle OAB isocèle en O, nous avons $\widehat{OAB} = (180° - 45°) / 2 = 135° / 2 = 67,5°$.
4. Question 4 : Les points A, B, C étant consécutifs, l'angle $\widehat{AOC}$ est le double de l'angle au centre $\widehat{AOB}$. Donc $\widehat{AOC} = 2 \times 45° = 90°$. Le triangle OAC est donc rectangle en O. En appliquant le Théorème de Pythagore : $AC^2 = OA^2 + OC^2$. Avec OA = OC = 4,5 cm : $AC^2 = 4,5^2 + 4,5^2 = 20,25 + 20,25 = 40,5$. $AC = \sqrt{40,5} \approx 6,363...$ Arrondi au dixième, $AC \approx 6,4$ cm.