Analyse de l'énoncé : Volumes, Proportionnalité et prise de décision

Cet exercice complet, tiré du Brevet 2014 en Polynésie, mobilise plusieurs notions fondamentales du programme de 3ème : le calcul d'aires (cercle, octogone régulier), la détermination de volumes, l'utilisation de la proportionnalité (débit et durée) et la recherche d'informations dans un tableau complexe.

Question 1 : Démarches administratives et Aires au sol

Pour déterminer si des démarches administratives sont nécessaires (Information 2 : surface < 10 m²), il faut calculer l'aire au sol (la base) de chaque piscine.

• Piscine Ronde : Le rayon $R$ est de 1,70 m. L'aire est $A_R = \pi \times R^2$. $A_R = \pi \times (1,70)^2 \approx 9,08 \text{ m}^2$. Puisque $9,08 < 10$, la piscine ronde n'impose aucune démarche administrative.
• Piscine Octogonale : Le diamètre extérieur est de 4,40 m, soit un rayon $R$ (du disque extérieur) de 2,20 m. L'aire est $A_O = 2\sqrt{2} \times R^2$ (Information 4). $A_O = 2\sqrt{2} \times (2,20)^2 \approx 13,68 \text{ m}^2$. Puisque $13,68 > 10$, la piscine octogonale nécessite des démarches administratives.

Question 2 : Capacité d'accueil et Aire minimale

La famille compte quatre personnes. L'Information 3 indique une surface minimale conseillée de 3,40 m² par baigneur. La surface totale requise est donc $4 \times 3,40 = 13,60 \text{ m}^2$.

• La piscine ronde ($9,08 \text{ m}^2$) est trop petite pour accueillir confortablement quatre personnes.
• La piscine octogonale ($13,68 \text{ m}^2$) est suffisante ($13,68 > 13,60$). La famille doit choisir la piscine octogonale.

Question 3 : Volume et Débit de remplissage

Nous devons vérifier si le volume d'eau livré entre Vendredi 14h00 et Samedi 10h00 dépasse le volume total de la piscine octogonale.

1. Calcul du Volume ($V$) : Le volume d'un prisme droit (ou d'un cylindre) est $V = A_{\text{base}} \times H$. $V_O = A_O \times 1,20$. $V_O = 13,68 \times 1,20 \approx 16,416 \text{ m}^3$. Soit environ $16416$ litres (car $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$).
2. Calcul de la Durée ($T$) : La durée totale de remplissage est de 20 heures (du Vendredi 14h00 au Samedi 10h00). Convertissons en minutes : $T = 20 \text{ h} \times 60 \text{ min/h} = 1200$ minutes.
3. Calcul du Volume livré ($W$) : Le débit est de 12 litres par minute (Information 5). $W = 12 \text{ L/min} \times 1200 \text{ min} = 14400$ litres.

Conclusion : Comme le volume livré ($14400 \text{ L}$) est inférieur au volume total de la piscine ($16416 \text{ L}$), la piscine octogonale ne va pas déborder. Il lui manquera environ $2016$ litres pour être pleine.