Analyse de l'énoncé : Géométrie et Volumes au Brevet

Cet exercice, issu de la session 2014 en Amérique du Sud, est un classique de la géométrie dans l'espace au niveau 3ème. Il évalue la capacité de l'élève à manipuler les formules d'aire et de volume, et introduit la notion plus avancée de la Caractéristique d'Euler pour les polyèdres. Le contexte est celui d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH dans lequel on définit une petite pyramide à retirer.

Points clés de l'Exercice

• Question 1 : Calcul de l'aire du triangle FNM. L'astuce cruciale est de reconnaître que le parallélépipède est rectangle. Par conséquent, l'angle $\widehat{EFG}$ (et donc $\widehat{NFM}$) est droit. Le triangle FNM est un triangle rectangle en F. L'aire est donnée par la formule $(côté_1 \times côté_2) / 2$. Ici, Aire = $(\text{FN} \times \text{FM}) / 2 = (4 \times 3) / 2 = 6 \text{ cm}^2$. Il est indispensable de justifier l'angle droit.
• Question 2 : Calcul du volume de la pyramide B-FNM. La base $B$ est le triangle FNM dont on vient de calculer l'aire ($6 \text{ cm}^2$). La hauteur $h$ de la pyramide est l'arête perpendiculaire au plan de la base FNM, soit $FB$. Nous avons $FB = 5 \text{ cm}$. En appliquant la formule $V = (\text{Aire}_{base} \times h) / 3$, on obtient $V = (6 \times 5) / 3 = 10 \text{ cm}^3$.
• Question 3.a : Volume du solide restant. Pour calculer le volume du solide ABCDENMGH, on calcule d'abord le volume total du parallélépipède : $V_{total} = FE \times FG \times FB = 15 \times 10 \times 5 = 750 \text{ cm}^3$. Le volume restant est la différence : $V_{restant} = V_{total} - V_{pyramide} = 750 - 10 = 740 \text{ cm}^3$.
• Question 3.b : Caractéristique d'Euler. Cette question teste la capacité à décomposer un solide et à compter ses éléments. Pour le parallélépipède, $F=6$, $A=12$, $S=8$. $x = 6 - 12 + 8 = 2$. Pour le solide modifié ABCDENMGH, il est essentiel de compter rigoureusement : il comporte 9 sommets, 14 arêtes et 7 faces (les 4 faces latérales modifiées/conservées, la face supérieure, la face inférieure pentagonale ENMGH et la nouvelle face de coupe BMN). On vérifie $x = 7 - 14 + 9 = 2$.

La Caractéristique d'Euler est toujours égale à 2 pour tout polyèdre simple sans trou, ce qui sert de vérification pour le comptage des faces, arêtes et sommets.