Analyse de l'énoncé et Contexte Historique

Cet exercice de Brevet s'inspire d'un problème historique attribué au célèbre mathématicien italien du Moyen Âge, Fibonacci (Léonard de Pise). Il s'agit d'une application directe et classique du Théorème de Pythagore en géométrie. La lance, la tour, et le sol forment un triangle rectangle, car la tour est considérée comme « perpendiculaire au sol », garantissant l'angle droit nécessaire à l'application du théorème. La lance, longue de 20 pieds, représente l'hypoténuse du triangle, et sa longueur reste constante, qu'elle soit verticale ou inclinée.

Points clés et Stratégie de Résolution

• Identification du Triangle Rectangle : Le sol (côté 1), le mur (côté 2), la lance (hypoténuse).
• Hypoténuse (H) : Longueur de la lance = 20 pieds.
• Côté de l'angle droit connu (a) : Distance éloignée du mur = 12 pieds.
• Côté inconnu (b) : Hauteur de la lance sur le mur après déplacement ($H_{finale}$).
• Objectif : Calculer la distance descendue, soit $D_{descendue} = H_{initiale} - H_{finale}$. Étant donné que $H_{initiale}$ est la longueur de la lance posée verticalement, $H_{initiale} = 20$ pieds.

Résolution détaillée par le Théorème de Pythagore

Soit $H_f$ la hauteur finale de l'extrémité de la lance sur le mur. D'après le théorème de Pythagore :

$$Côté^2 + Côté^2 = Hypoténuse^2$$

$$H_f^2 + 12^2 = 20^2$$

1. Calcul des carrés : $H_f^2 + 144 = 400$.
2. Isolation de $H_f^2$ : $H_f^2 = 400 - 144 = 256$.
3. Calcul de la hauteur finale $H_f$ : $H_f = \sqrt{256}$. Or $16 imes 16 = 256$, donc $H_f = 16$ pieds.
4. Calcul de la distance de descente : La distance descendue est la différence entre la hauteur initiale (20 pieds) et la hauteur finale (16 pieds). $D_{descendue} = 20 - 16 = 4$ pieds.

L'autre extrémité de la lance descend donc de 4 pieds le long du mur. Cet exercice illustre parfaitement comment un concept mathématique ancien peut résoudre des problèmes concrets de la vie quotidienne ou historiques, faisant de Pythagore une notion essentielle pour le Brevet.