Analyse de l'énoncé : Géométrie et Théorème de Pythagore

Cet exercice du Brevet 2014 (Nouvelle Calédonie) est un excellent exemple de la manière dont les notions de géométrie plane et le célèbre Théorème de Pythagore peuvent être appliqués dans des situations concrètes. La première partie porte sur les angles au centre d'un cercle (répartition des pales), tandis que la troisième partie mobilise la trigonométrie élémentaire via le théorème de Pythagore pour calculer une distance horizontale.

Points clés et Méthode de Résolution

1. Calcul des angles : La première question est un simple calcul d'angle au centre. Étant donné que les pales sont réparties de manière régulière autour de l'axe, il suffit de diviser l'angle total d'un cercle (360°) par le nombre de pales. Pour trois pales : $360^\circ / 3 = 120^\circ$. Pour six pales (question 2) : $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Ce sont des prérequis essentiels en géométrie plane.

2. Application de Pythagore (Question 3) : C'est la partie la plus technique. Il faut identifier un triangle rectangle dans le schéma. Le randonneur s'arrête lorsqu'il est à 80 m de la source sonore (centre des pales A). Ce segment (distance sonore) représente l'hypoténuse (L = 80 m).

• Étape 1 : Définir la hauteur du côté vertical. Le mât mesure 35 m de haut, mais les oreilles du randonneur sont à 1,80 m du sol. La hauteur du côté vertical du triangle (la différence de niveau) est donc $h = 35 ext{ m} - 1,80 ext{ m} = 33,20 ext{ m}$.
• Étape 2 : Appliquer le Théorème de Pythagore. Nous cherchons la distance horizontale BC (que nous noterons $d$). Selon Pythagore, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse : $d^2 + h^2 = L^2$.
• Étape 3 : Calculer la distance $d$. $d^2 = L^2 - h^2$. $d^2 = 80^2 - 33,2^2 = 6400 - 1102,24 = 5297,76$. $d = \sqrt{5297,76} \approx 72,78 ext{ m}$.
• Étape 4 : Arrondir. L'énoncé demande d'arrondir le résultat à l'unité. La distance BC est donc de $\mathbf{73}$ mètres.

Compétences testées

Cet exercice vérifie la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma, à modéliser une situation réelle par un triangle rectangle et à appliquer rigoureusement le Théorème de Pythagore pour résoudre un problème de distance.