Analyse de l'énoncé : La Magie des Programmes de Calculs

Cet exercice, typique du Brevet, évalue votre capacité à traduire un programme de calculs exprimé en langage courant vers le langage algébrique (Calcul littéral). La question posée est une affirmation : le résultat final est toujours un multiple de 10. Pour vérifier si cette affirmation est vraie, nous devons effectuer le calcul avec une variable générique.

Méthodologie pour la justification :

1. Choix de la variable : Désigner le nombre de départ par une lettre (conventionnellement $x$).
2. Traduction littérale : Écrire l'expression algébrique correspondant au programme de calcul, en faisant attention aux priorités opératoires (parenthèses).
3. Développement et Simplification : Utiliser la distributivité pour simplifier l'expression finale.
4. Conclusion : Analyser la forme simplifiée pour prouver qu'elle est un multiple de 10.

Traduction Algébrique du Programme

Soit $x$ le nombre entier de départ.

• « Je lui ajoute 3 » : $(x + 3)$
• « Je multiplie le résultat par 7 » : $7 \times (x + 3)$
• « J'ajoute le triple du nombre de départ » : $7(x + 3) + 3x$
• « J'enlève 21 » : $R = 7(x + 3) + 3x - 21$

Calcul Littéral et Justification

Nous développons et simplifions l'expression $R$ :

$$R = 7(x + 3) + 3x - 21$$

1. Application de la distributivité :

$$R = (7 \times x + 7 \times 3) + 3x - 21$$

$$R = 7x + 21 + 3x - 21$$

2. Réorganisation des termes similaires (regroupement des termes en $x$ et des constantes) :

$$R = (7x + 3x) + (21 - 21)$$

3. Simplification :

$$R = 10x + 0$$

$$R = 10x$$

Conclusion

Le résultat final du programme de calcul est $10x$. Puisque $x$ est, selon l'énoncé, un nombre entier, $10x$ est nécessairement un multiple de 10 (par définition, tout nombre de la forme $10k$ où $k$ est un entier est un multiple de 10). L'affirmation est donc vraie.

Points clés pour le Brevet

• La traduction d'un programme de calcul nécessite la bonne utilisation des parenthèses.
• Le calcul littéral permet de généraliser et de vérifier une propriété quel que soit le nombre choisi.
• Savoir développer et réduire une expression est fondamental pour la validation d'une propriété mathématique.