Analyse de l'énoncé : Géométrie et Programmation

Cet exercice est typique des épreuves modernes du DNB, car il exige à la fois une rigueur géométrique et une compréhension des structures algorithmiques. Il est essentiel de bien maîtriser les propriétés des polygones réguliers et le rôle des angles de rotation en programmation.

1. Étude du Quadrilatère ABCD (Géométrie plane)

Nature et angle du quadrilatère

Le quadrilatère ABCD est formé de deux triangles équilatéraux de côté 5 cm. Pour obtenir un angle de $120\degres$ comme demandé, ces deux triangles ($ riangle ABC$ et $ riangle ADC$) doivent partager le segment $AC$, formant ainsi un Losange (Rhombus).

• Nature (Q1.b) : Puisque tous les côtés sont de même longueur ($AB=BC=CD=DA=5$ cm), ABCD est un Losange.
• Démonstration de $\widehat{ ext{BCD}}$ (Q1.c) : Dans un losange construit à partir de deux triangles équilatéraux, l'angle $\widehat{ ext{BCD}}$ est la somme des deux angles internes au niveau du sommet C : $\widehat{ ext{BCA}} + \widehat{ ext{ACD}}$. Comme les triangles sont équilatéraux, $\widehat{ ext{BCA}} = 60\degres$ et $\widehat{ ext{ACD}} = 60\degres$. Ainsi, $\widehat{ ext{BCD}} = 60\degres + 60\degres = 120\degres$.

2. Compléter le programme Motif (Algorithmique)

Le bloc `Motif` doit tracer le Losange. Avec une échelle de 10 pas = 1 cm, le côté de 5 cm correspond à 50 pas. Pour dessiner un polygone, l'angle de rotation est l'angle extérieur (supplémentaire de l'angle intérieur).

• Ligne 3 et 4 : Tracé du premier côté (50 pas) suivi de la rotation au sommet de $120\degres$. L'angle extérieur est $180\degres - 120\degres = 60\degres$.
• Ligne 5 (avancer) : On trace le deuxième côté (longueur 5 cm) : 50 pas.
• Ligne 6 (tourner) : On arrive au sommet dont l'angle intérieur est $60\degres$. L'angle extérieur est $180\degres - 60\degres = \mathbf{120}$ degrés.

Le programme répète cette séquence (avancer 50, tourner 60, avancer 50, tourner 120) deux fois, traçant ainsi les 4 côtés du Losange.

3. Association des Programmes et Figures (Q3)

Les programmes utilisent le `Motif` 5 fois, souvent en utilisant la symétrie de rotation $360\degres / 5 = 72\degres$.

• Programme A : Répétition du Motif suivie d'une rotation de $72\degres$. Le point de départ ne change pas entre les motifs, créant une superposition radiale autour de l'origine. Ceci correspond à la Figure 2.
• Programme C : Répétition du Motif suivie d'une translation (avancer 25 pas) sans rotation entre les motifs. Ceci crée une séquence linéaire. Ceci correspond à la Figure 1.
• Programme B : Répétition du Motif suivie d'une rotation de $72\degres$ ET d'une translation de 25 pas. Ce mouvement combiné décale chaque nouveau motif par rapport au centre et par rotation, créant la structure en anneau espacé. Ceci correspond à la Figure 3.

Conclusion : Le programme A permet de tracer la figure 2. Le programme B permet de tracer la figure 3. Le programme C permet de tracer la figure 1.