Analyse de l'énoncé : Un QCM Complet
Cet exercice 1 du Brevet 2024 de la session Amérique du Sud est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui teste votre maîtrise de cinq notions fondamentales du programme de troisième. Bien qu'aucune justification ne soit demandée le jour J, il est crucial de comprendre la démarche pour chaque question afin de valider la bonne réponse. Ce QCM aborde les probabilités, la géométrie spatiale, le théorème de Thalès, le calcul de ratio d'engrenages et les transformations (homothétie).
Points clés de la résolution
1. Probabilités (Urne)
Pour déterminer la probabilité d'un événement, on utilise la formule classique : $P = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$. L'urne contient 3 jetons verts et 2 jetons blancs, soit 5 jetons au total. La probabilité de tirer un jeton blanc est donc de $\frac25$.
2. Géométrie dans l'espace (Vue de droite)
La vue de droite d'un solide correspond à la projection orthogonale de ce solide sur un plan, en regardant selon la direction indiquée par la flèche (ici, de droite à gauche). Il faut identifier la hauteur maximale et la profondeur totale, puis représenter les différents niveaux par des rectangles contigus. La vue de droite doit capturer le profil de la structure vue de côté.
3. Théorème de Thalès
La configuration du triangle ABC avec les droites parallèles (DH) et (AC) permet d'appliquer le théorème de Thalès, car B, H, A et B, D, C sont alignés. Les triangles BDH et BCA sont semblables. On établit l'égalité des rapports : $\frac{BD}{BC} = \frac{DH}{AC}$. En substituant les valeurs données ($BD=2$, $BC=10$, $AC=16$), le calcul de $DH$ est direct : $DH = 16 \times \frac{2}{10} = 3,2$ cm.
4. Engrenages et Transformations
Le nombre de tours effectués par une roue dentée est inversement proportionnel à son nombre de dents. Pour deux roues engrenées (Grande Roue G, 12 dents, et Petite Roue P, 9 dents), nous avons la relation $N_G \times T_G = N_P \times T_P$. Si la petite roue fait 4 tours, on peut trouver le nombre de tours $T_G$ de la grande roue en résolvant l'équation $12 \times T_G = 9 \times 4$, soit $36 / 12 = 3$ tours.
5. Homothétie (Centre A)
Une homothétie de centre A fixe le point A. L'énoncé nous donne la correspondance des carrés : AGFE (image) est l'image de ADCB (original). On déduit les correspondances de sommets : $D \rightarrow G$, $C \rightarrow F$, et $B \rightarrow E$. Pour trouver le triangle d'origine dont l'image est EGF, on applique la transformation inverse : E est l'image de B, G est l'image de D, et F est l'image de C. Le triangle d'origine est donc BDC.