Introduction aux Géométries Complexes du Brevet
L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2015 (Zone Asie) est un sujet incontournable pour les élèves de 3ème. Il traite d'un thème central du programme : les volumes. L'originalité de cet exercice réside dans l'utilisation d'une figure géométrique non conventionnelle, la calotte sphérique. Bien que la formule ne soit pas à apprendre par cœur, la capacité à manipuler des expressions littérales complexes et à effectuer des conversions d'unités (du cm³ au litre) est une compétence fondamentale évaluée par le jury.
Analyse de la Question 1 : La Calotte Sphérique
La première partie de l'exercice demande de calculer le volume d'un aquarium ayant la forme d'une sphère tronquée. L'énoncé fournit généreusement la formule : \[V = \dfrac{\pi}{3} \times h^2 \times (3r - h)\]. Ici, le candidat doit identifier correctement les variables : le rayon $r$ est de 10 cm et la hauteur $h$ de la calotte est de 18 cm.
Pour la question 1.a, la rigueur est de mise. En remplaçant les lettres par leurs valeurs numériques, on obtient : \[V = \dfrac{\pi}{3} \times 18^2 \times (3 \times 10 - 18)\]. L'analyse étape par étape montre que $18^2 = 324$ et que $(30 - 18) = 12$. En simplifiant la fraction, on trouve effectivement que $V = \np{1296}\pi$. Ce résultat est une valeur exacte. Il est crucial pour l'élève de ne pas transformer $\pi$ en $3,14$ immédiatement, afin de conserver la précision demandée par l'énoncé.
Pour la question 1.b, on passe à la valeur approchée. En utilisant la touche $\pi$ de la calculatrice, $\np{1296} \times \pi \approx 4071,5$ cm³. L'élève doit ensuite mobiliser ses connaissances sur les conversions de volumes. Rappelons que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre} = \np{1000} \text{ cm}^3$. Ainsi, $\np{4071,5} \text{ cm}^3$ correspond à environ $4,07$ litres. L'arrondi au litre près donne donc $4$ litres.
Analyse de la Question 2 : Le Transfert de Volume
La seconde partie de l'exercice introduit un nouveau solide : le parallélépipède rectangle (ou pavé droit). On suppose que l'aquarium est rempli à ras bord, ce qui signifie que l'on manipule le volume précédemment calculé. Le défi ici est de comprendre que le volume d'eau reste constant lors du transfert : c'est le principe de conservation du volume.
Le volume d'un pavé droit se calcule par la formule : $V = \text{Base} \times \text{Hauteur}$, soit $V = L \times l \times h_{eau}$. Nous connaissons $V$ (environ $\np{4071,5}$ cm³), $L = 20$ cm et $l = 15$ cm. L'équation à résoudre est donc : $\np{4071,5} = 20 \times 15 \times h_{eau}$, ce qui donne $\np{4071,5} = 300 \times h_{eau}$. En isolant l'inconnue, on trouve $h_{eau} = \np{4071,5} / 300 \approx 13,57$ cm. L'arrondi au centimètre demandé est donc 14 cm.
Les Pièges à Éviter
Plusieurs erreurs peuvent coûter des points lors de cet exercice de Brevet :
- Confondre le rayon et le diamètre : Toujours bien lire si la valeur donnée est $r$ ou $d$.
- Oublier les priorités opératoires : Dans la formule de la calotte, le carré sur la hauteur $h^2$ doit être calculé en priorité.
- Les erreurs d'unités : Passer du cm³ au litre demande de la vigilance. Visualisez toujours qu'un litre est un cube de 10 cm de côté.
- L'arrondi prématuré : Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs intermédiaires, votre résultat final sera faussé. Gardez les valeurs exactes (avec $\pi$) le plus longtemps possible.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour maximiser les points, structurez votre copie : citez la formule utilisée, présentez le calcul avec les valeurs numériques, puis donnez la phrase réponse avec l'unité. Soulignez vos résultats. Un correcteur appréciera une explication claire sur la conversion des litres : "Je sais que 1 dm³ = 1000 cm³ donc...". La clarté de votre raisonnement vaut autant que l'exactitude du résultat numérique.