Introduction aux notions de probabilités et d'arithmétique

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2015 (Zone Amérique du Sud) est un excellent support pour réviser deux piliers du programme de troisième : les probabilités et l'arithmétique (diviseurs et PGCD). La première partie sollicite la capacité de l'élève à quantifier le hasard dans un univers fini, tandis que la seconde partie explore la répartition équitable de grandeurs, une notion fondamentale pour la gestion de stocks ou l'organisation logistique. En mathématiques, savoir jongler entre ces deux domaines est une compétence clé pour réussir l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Les Probabilités

La première question nous demande de calculer la probabilité que le premier titre soit un titre de musique rap. Pour cela, nous devons identifier l'univers de l'expérience aléatoire. Le DJ possède deux types de titres : 96 titres de rap et 104 titres d'électro. La première étape cruciale, souvent oubliée par les candidats, est de calculer l'effectif total de la population de titres. En additionnant $96 + 104$, nous obtenons un total de $200$ titres. L'expérience consiste à choisir un titre au hasard parmi ces $200$. Comme chaque titre a la même chance d'être choisi, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La formule de base est simple : $P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$. Ici, le nombre de cas favorables est le nombre de titres de rap, soit $96$. La probabilité est donc de $\frac{96}{200}$. Un élève de troisième doit savoir simplifier cette fraction. En divisant par 4, on obtient $\frac{24}{50}$, puis $\frac{12}{25}$, soit $0,48$ ou $48\%$.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Le PGCD et l'Arithmétique

La deuxième partie de l'exercice change de registre. Le DJ souhaite créer des « mix » identiques. Le mot « identique » signifie que chaque mix doit contenir exactement le même nombre de titres de rap et le même nombre de titres d'électro. On cherche à répartir tous les titres. Cela implique que le nombre de concerts (le nombre de mix) doit être un diviseur commun de $96$ et de $104$.

Question 2.a : Recherche du nombre maximum de concerts

On nous demande le nombre maximum de concerts différents. En langage mathématique, cela signifie que nous cherchons le plus grand diviseur commun (PGCD) de $96$ et $104$. Pour trouver le $PGCD(96, 104)$, plusieurs méthodes sont possibles. La méthode des soustractions successives ou l'algorithme d'Euclide (divisions successives) sont les plus efficaces. En utilisant l'algorithme d'Euclide : $104 = 96 \times 1 + 8$ puis $96 = 8 \times 12 + 0$. Le dernier reste non nul est $8$. Ainsi, le nombre maximum de concerts que le DJ peut réaliser est de $8$.

Question 2.b : Composition de chaque concert

Une fois le nombre de concerts (8) déterminé, il suffit de diviser les stocks initiaux par ce nombre pour connaître la composition de chaque mixage. Pour le rap : $96 \div 8 = 12$. Pour l'électro : $104 \div 8 = 13$. Chaque concert sera donc composé de $12$ titres de rap et $13$ titres de musique électro. On peut vérifier la cohérence du résultat : $12 + 13 = 25$ titres par concert, et $25 \times 8 = 200$, on retrouve bien le total de nos titres.

Les Pièges à éviter

Le piège classique dans la question 1 est d'utiliser le nombre de titres d'électro ($104$) comme dénominateur au lieu du total ($200$). Rappelez-vous toujours que le dénominateur d'une probabilité représente l'ensemble des issues possibles. Dans la question 2, l'erreur fréquente est de ne pas identifier qu'il s'agit d'un problème de PGCD. Si vous lisez « maximum », « identique » et « répartir tout le stock », c'est un signal clair pour l'arithmétique. Enfin, n'oubliez pas que le PGCD est un nombre de groupes (ici les concerts), et non le nombre d'objets par groupe (ici les titres).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, ne donnez pas juste le résultat brut. Énoncez clairement vos calculs : « Soit $N$ le nombre total de titres... ». Pour le PGCD, citez la méthode utilisée : « J'utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver le plus grand diviseur commun à 96 et 104 ». Enfin, concluez toujours par une phrase réponse qui reprend les termes de l'énoncé : « Le DJ pourra réaliser au maximum 8 concerts identiques. » Cette rigueur montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi le raisonnement logique associé.