Introduction aux notions du Brevet 2015

L'exercice 1 du Brevet de Mathématiques 2015 (Sujet Amérique du Nord) est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie des compétences fondamentales du cycle 4. Ce type d'exercice est stratégique car il permet de tester rapidement votre maîtrise sur des thèmes variés : l'écriture scientifique, le calcul littéral (via les fractions), les pourcentages de réduction et les propriétés des agrandissements-réductions en géométrie. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de mobiliser les automatismes de calcul et les propriétés géométriques apprises en classe de 3ème.

Analyse détaillée de la Question 1 : Puissances et Écriture Scientifique

La première question demande de trouver l'écriture scientifique de l'expression suivante : $\dfrac{5 \times 10^6 \times 1,2 \times 10^{- 8} }{2,4 \times 10^5}$. Pour réussir ce calcul, il faut procéder par étapes en séparant les nombres décimaux des puissances de 10.

1. Regrouper les termes : On calcule d'abord le numérateur. $5 \times 1,2 = 6$. Pour les puissances de 10, on utilise la règle $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$. Ainsi, $10^6 \times 10^{-8} = 10^{6-8} = 10^{-2}$. Le numérateur devient donc $6 \times 10^{-2}$.
2. Division finale : On divise maintenant par le dénominateur : $\dfrac{6}{2,4} \times \dfrac{10^{-2}}{10^5}$. On sait que $6 / 2,4 = 2,5$. Pour les puissances, on applique $\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$, ce qui donne $10^{-2-5} = 10^{-7}$.
3. Résultat : L'écriture scientifique est donc $2,5 \times 10^{-7}$. Rappelons qu'une écriture scientifique doit être de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$. Ici, 2,5 respecte bien cette condition.

Analyse de la Question 2 : Calcul Littéral et Fractions

On nous donne l'expression $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ avec $x = 20$ et $y = 5$. C'est une application classique du calcul fractionnaire que l'on retrouve souvent en physique (résistances en parallèle).
Substituons les valeurs : $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{5}$. Pour additionner ces fractions, il faut un dénominateur commun. Le plus simple est 20. On transforme $\dfrac{1}{5}$ en $\dfrac{4}{20}$.
On obtient $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{5}{20}$.
Simplifions la fraction : $\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$.
Si $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{4}$, alors par inversion (ou produit en croix), on en déduit que $R = 4$.

Analyse de la Question 3 : Calcul de Pourcentage de Réduction

Un article passe de 120€ à 90€. La question porte sur le pourcentage de réduction.
Calculons d'abord le montant de la remise en euros : $120 - 90 = 30$€.
Le taux de réduction se calcule par rapport au prix initial : $\dfrac{\text{Remise}}{\text{Prix initial}} = \dfrac{30}{120}$. En simplifiant cette fraction, on trouve $\dfrac{1}{4}$, ce qui correspond exactement à $0,25$ soit $25\%$.
Une autre méthode consiste à utiliser le coefficient multiplicateur : $90 / 120 = 0,75$. Le taux de réduction est $1 - 0,75 = 0,25$, soit $25\%$.

Analyse de la Question 4 : Agrandissement et Aires

Ici, on considère un rectangle de largeur 5 cm et de longueur 8 cm. Son aire initiale est de $5 \times 8 = 40$ cm². On applique un agrandissement de coefficient $k = 2$.
Propriété fondamentale : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, mais les aires sont multipliées par $k^2$.
Le nouveau coefficient pour l'aire est donc $2^2 = 4$.
L'aire du rectangle obtenu est $40 \times 4 = 160$ cm².
Une erreur classique consisterait à multiplier l'aire par le rapport 2, ce qui donnerait 80 cm², mais cela est incorrect car l'agrandissement s'applique aux deux dimensions du rectangle simultanément.

Les Pièges à Éviter au Brevet

1. Confusion sur les puissances : Attention au signe lors du passage du dénominateur au numérateur ($10^{-2} / 10^5$ devient bien $10^{-7}$ et non $10^3$).
2. L'oubli de l'inverse : Dans la question 2, beaucoup d'élèves s'arrêtent à $1/R = 0,25$ et choisissent 0,25 comme réponse alors qu'on demande la valeur de $R$.
3. Le piège du coefficient k : En géométrie, retenez bien la hiérarchie : $k$ pour les longueurs, $k^2$ pour les surfaces, $k^3$ pour les volumes. C'est un grand classique des sujets de Brevet.

Conseils de Rédaction

Pour un QCM, même si aucune justification n'est attendue, utilisez votre brouillon pour poser chaque étape. Sur votre copie, recopiez simplement le numéro de la question et la réponse choisie de manière très lisible. Par exemple : "Question 1 : $2,5 \times 10^{-7}$". Cela facilite le travail du correcteur et limite les risques d'erreur de lecture.