Introduction aux Probabilités au Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet 2015 (Pondichéry) est une application classique du calcul de probabilités dans le cadre d'une expérience aléatoire à deux étapes. Ce type d'exercice est récurrent dans les épreuves de fin de troisième car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation concrète (un jeu télévisé) par des outils mathématiques rigoureux. La thématique des Probabilités est centrale pour obtenir une mention au Brevet, car elle fait appel à la logique et à la gestion des fréquences théoriques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente un scénario divisé en deux phases distinctes. La compréhension de la structure de l'énoncé est la clé de la réussite.

Question 1 : L'accès à la salle du trésor

Dans la première épreuve, le candidat est confronté à 5 portes. Le texte précise qu'une seule porte mène au trésor. Nous sommes ici dans une situation d'équiprobabilité : chaque porte a la même chance d'être choisie. Pour calculer la probabilité, on utilise la formule fondamentale : P(A) = (Nombre d'issues favorables) / (Nombre total d'issues possibles). Ici, l'issue favorable est l'accès au trésor (1 porte) et le total des issues est de 5. La probabilité est donc de 1/5, soit 0,2 ou 20%.

Question 2 : Dans la salle du trésor

Cette partie se concentre sur un candidat qui a déjà franchi la première étape. Le référentiel change : nous ne parlons plus des portes, mais des enveloppes dans la salle du trésor.

Représentation par un schéma (2.a)

Pour représenter cette situation, l'outil le plus adapté est l'arbre de probabilités ou un diagramme en branches. L'origine du schéma est le candidat dans la salle. On trace trois branches correspondant aux montants possibles : 1000 €, 200 € et 100 €. Pour le calcul des effectifs : il y a 8 enveloppes au total. 1 enveloppe contient 1000 €, 5 contiennent 200 €. Les 'autres' sont au nombre de 8 - (1 + 5) = 2 enveloppes de 100 €. Sur chaque branche, on indiquera les probabilités correspondantes : 1/8, 5/8 et 2/8.

Calcul de la probabilité de gagner au moins 200 € (2.b)

L'expression 'au moins' est cruciale en mathématiques. 'Au moins 200 €' signifie que le candidat gagne soit 200 €, soit plus (ici 1000 €). Pour calculer cette probabilité, on additionne les probabilités des événements élémentaires qui réalisent cette condition : P(G >= 200) = P(G=200) + P(G=1000). Soit 5/8 + 1/8 = 6/8. On peut simplifier cette fraction en 3/4, ce qui correspond à 0,75 ou 75% de chances de succès.

Question 3 : Dans la salle de consolation

Ici, on s'intéresse au candidat qui n'a pas trouvé la porte du trésor. Il se retrouve face à 8 enveloppes. Le texte indique que 5 enveloppes contiennent 100 € et que les autres sont vides. Le nombre d'enveloppes vides est donc de 8 - 5 = 3. La probabilité de ne rien gagner (tirer une enveloppe vide) est donc de 3/8. En valeur décimale, cela représente 0,375 soit 37,5%.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de ne pas recalculer l'effectif total pour chaque question. Dans la salle du trésor comme dans la salle de consolation, il y a toujours 8 enveloppes au départ, mais la répartition des gains change radicalement. Un autre piège réside dans la lecture de l'énoncé pour la question 2.b : certains élèves oublient l'enveloppe de 1000 € en pensant que 'au moins 200' exclut les montants supérieurs, alors que c'est l'inverse. Enfin, faites attention à bien soustraire les quantités connues du total (8) pour trouver le nombre d'enveloppes restantes (les enveloppes de 100 € ou les enveloppes vides).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, suivez ces règles :
1. Nommez toujours l'événement que vous calculez (ex: 'Soit T l'événement : accéder à la salle du trésor').
2. Écrivez toujours la formule en lettres ou sous forme de fraction avant de passer au calcul numérique.
3. Donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée, puis éventuellement sous forme décimale ou de pourcentage pour montrer votre aisance.
4. Justifiez vos calculs de soustraction (ex: 8 - 5 = 3) pour montrer au correcteur d'où proviennent vos chiffres.

Importance de ce sujet dans le programme de 3ème

La probabilité est un chapitre qui permet de lier l'arithmétique (fractions, pourcentages) et la logique. Maîtriser cet exercice de 2015 vous prépare non seulement au Brevet, mais aussi au lycée où les arbres pondérés deviendront plus complexes. La rigueur dans l'analyse de l'énoncé est votre meilleure alliée.