Introduction aux programmes de calcul au Brevet

L'exercice 1 du sujet de Polynésie 2015 est un classique incontournable du Brevet des Collèges. Il porte sur les programmes de calcul, un support idéal pour évaluer deux compétences majeures du cycle 4 : le calcul littéral et la résolution d'équations. Ce type d'exercice demande aux élèves de passer de l'arithmétique (manipulation de nombres) à l'algèbre (manipulation de variables $x$). Comprendre comment transformer une suite d'instructions en une expression mathématique est essentiel pour obtenir les points lors de l'examen final.

Analyse Méthodique du Programme A

Dans la première partie, on nous demande de tester le Programme A avec des valeurs numériques. C'est une phase d'échauffement cruciale pour comprendre le fonctionnement des étapes.

Question 1.a : Avec le nombre 4 comme départ. Les étapes sont :
1. Choisir 4.
2. Ajouter 3 : $4 + 3 = 7$.
3. Calculer le carré du résultat : $7^2 = 49$.
4. Soustraire le carré du nombre de départ : $49 - 4^2 = 49 - 16 = 33$.
Le résultat est bien 33. Cette question est un guide qui permet de valider votre compréhension du texte.

Question 1.b : Avec le nombre $-5$. Attention ici aux priorités et aux signes !
1. Choisir $-5$.
2. Ajouter 3 : $-5 + 3 = -2$.
3. Calculer le carré : $(-2)^2 = 4$. (Rappel : le carré d'un nombre négatif est toujours positif).
4. Soustraire le carré de départ : $4 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21$.
L'erreur classique ici serait d'écrire $-5^2 = -25$ sans parenthèses ou de se tromper dans la soustraction des relatifs.

Analyse Méthodique du Programme B et démonstration

Le Programme B est plus simple en apparence : multiplier par 6 puis ajouter 9. Soit, pour un nombre $x$, l'expression $6x + 9$.

Question 2 : Prouver l'égalité des programmes. C'est ici que le calcul littéral entre en scène. Pour prouver que Clément a raison pour *n'importe quel nombre*, il ne suffit pas de tester des exemples. Il faut utiliser une variable $x$.
Traduisons le Programme A en fonction de $x$ :
1. Nombre de départ : $x$.
2. Ajouter 3 : $x + 3$.
3. Carré du résultat : $(x + 3)^2$.
4. Soustraire le carré du départ : $(x + 3)^2 - x^2$.

Développons cette expression en utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$(x + 3)^2 - x^2 = (x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2) - x^2$
$= x^2 + 6x + 9 - x^2$
$= 6x + 9$.
On constate que l'expression simplifiée du Programme A est strictement identique à celle du Programme B. Clément a donc raison : les deux programmes sont équivalents mathématiquement.

Résolution de l'Équation (Question 3)

On cherche $x$ tel que le résultat soit 54. Puisque les deux programmes sont identiques, nous utilisons l'expression la plus simple : $6x + 9 = 54$.
1. On isole le terme en $x$ : $6x = 54 - 9$.
2. $6x = 45$.
3. On divise par 6 : $x = \frac{45}{6} = 7,5$.
Pour obtenir 54, il faut donc choisir 7,5 au départ.

Les Pièges et Conseils de Rédaction

1. La gestion des parenthèses : Lors du calcul de $(-2)^2$, l'absence de parenthèses sur votre copie pourrait être pénalisée, car $-2^2 = -4$ alors que $(-2)^2 = 4$. Soyez rigoureux sur ce point.

2. La généralisation : Ne faites jamais l'erreur de penser que tester deux ou trois nombres suffit à prouver une égalité générale. La seule méthode de preuve acceptable au Brevet pour la question de Clément est le développement de l'expression littérale.

3. Présentation : Structurez votre réponse en annonçant ce que vous calculez. Par exemple : "Appliquons le programme B au nombre x". Soulignez vos résultats finaux pour faciliter la lecture du correcteur. Une copie claire avec un raisonnement logique est la clé pour obtenir le maximum de points en mathématiques.