Introduction aux notions fondamentales du Brevet

Cet exercice 1 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Le format QCM est un classique de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Il permet d'évaluer la rapidité de réflexion et la maîtrise de plusieurs domaines transversaux : l'arithmétique, l'algèbre avec les équations-produits, la gestion de données via les pourcentages, et enfin l'analyse de fonctions. Les tags associés — QCM, Équations, Arithmétique, Calcul numérique — soulignent la richesse de cet exercice malgré son apparente simplicité. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de développer une stratégie de résolution efficace pour ne pas perdre de temps le jour de l'examen.

Analyse Méthodique du QCM

Le QCM se décompose en cinq questions indépendantes nécessitant chacune une approche spécifique.

1. Résolution d'une équation-produit nul

La première question porte sur l'équation $(x - 3)(3x + 2) = 0$. En mathématiques, la règle du produit nul est fondamentale : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Pour résoudre cette équation, nous devons donc résoudre séparément :

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\dfrac{2}{3}$

Les solutions sont donc 3 et $-\dfrac{2}{3}$. Cette notion est cruciale car elle prépare l'élève à l'étude des fonctions polynômes du second degré au lycée.

2. Calcul d'évolution : l'augmentation en pourcentage

La question 2 demande de calculer la nouvelle taille d'une plante de 56 cm après une croissance de 15%. Il est impératif de comprendre qu'augmenter une valeur de $t\%$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $(1 + \frac{t}{100})$. Ici, le calcul est : $56 \times (1 + \frac{15}{100}) = 56 \times 1,15$. Le résultat est $64,4$ cm. Une erreur classique consiste à simplement ajouter 15 au nombre 56, ce qui est mathématiquement incorrect puisqu'un pourcentage représente une proportion de la valeur initiale.

3. Lecture graphique de fonctions

La troisième question utilise une représentation graphique d'une fonction (une parabole). On cherche l'image du nombre 1. Sur l'axe des abscisses (axe horizontal), nous repérons la valeur $x = 1$. En nous déplaçant verticalement jusqu'à la courbe, nous lisons l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées (axe vertical). Le point de la courbe a pour coordonnées $(1, -3)$. Ainsi, l'image de 1 par cette fonction est $-3$. Cette compétence de lecture graphique est indispensable pour interpréter des données réelles.

4. Arithmétique et PGCD

La question 4 demande le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 108 et 189. Deux méthodes sont envisageables : l'algorithme d'Euclide ou la décomposition en produits de facteurs premiers. En utilisant l'algorithme d'Euclide :

• $189 = 1 \times 108 + 81$
• $108 = 1 \times 81 + 27$
• $81 = 3 \times 27 + 0$

Le dernier reste non nul est 27. Le PGCD est donc 27. Savoir calculer un PGCD est la base pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de répartition équitable.

5. Simplification de racines carrées

Enfin, la question 5 porte sur l'écriture simplifiée de $\sqrt{45}$. Pour simplifier une racine carrée, il faut chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine. Ici, $45 = 9 \times 5$. Comme $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \ge 0$), on obtient $\sqrt{45} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Les Pièges à éviter

Attention aux erreurs de signes ! Dans la première question, beaucoup d'élèves inversent les signes et proposent $-3$ et $2/3$. Soyez rigoureux lors du passage d'un terme de l'autre côté de l'égalité. Concernant les pourcentages, ne confondez pas le montant de l'augmentation ($56 \times 0,15 = 8,4$) avec la valeur finale ($56 + 8,4 = 64,4$). Enfin, pour le graphique, ne confondez pas l'image (lecture sur l'axe vertical) et l'antécédent (lecture sur l'axe horizontal).

Conseils de rédaction pour le Brevet

Même si cet exercice précise qu'aucune justification n'est demandée, il est fortement conseillé d'effectuer vos calculs au brouillon. Pour la copie, respectez la consigne : indiquez le numéro de la question et la réponse choisie. Une présentation claire, comme "Question 1 : Réponse B", facilite le travail du correcteur. En cas de doute, procédez par élimination : par exemple, pour $\sqrt{45}$, on voit bien que 22,5 est impossible car $(22,5)^2$ est bien supérieur à 45. La méthode par élimination est une arme puissante dans les QCM de mathématiques.