Introduction aux notions du Brevet 2015

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges de la zone Asie en 2015, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement stratégique lors de l'examen car il permet de tester un large spectre de compétences mathématiques en un temps réduit. Ici, les élèves de 3ème doivent mobiliser des connaissances variées : la notation scientifique (puissances de 10), le calcul littéral (développement et réduction), la résolution de problèmes par mise en équation, les puissances de nombres relatifs et la géométrie dans l'espace (sections de cylindre).

Analyse Méthodique de l'exercice

Question 1 : La notation scientifique. L'objectif est de transformer le nombre $587\,000\,000$ en une forme normalisée $a \times 10^n$. La règle est stricte : $a$ (la mantisse) doit être compris entre 1 et 10 (exclu). Pour $587\,000\,000$, nous déplaçons la virgule de 8 rangs vers la gauche pour obtenir $5,87$. Comme le nombre initial est grand, l'exposant est positif : $5,87 \times 10^8$. La réponse C est donc la seule correcte. Attention à ne pas confondre avec l'exposant négatif qui correspond à des nombres extrêmement petits (proches de zéro).

Question 2 : Développement et réduction. On nous propose l'expression $(x + 2)(3x - 1)$. Il s'agit d'un produit de deux binômes nécessitant l'application de la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. En appliquant : $x \times 3x = 3x^2$, $x \times (-1) = -x$, $2 \times 3x = 6x$, et $2 \times (-1) = -2$. En regroupant les termes, nous obtenons $3x^2 + (-x + 6x) - 2$, soit $3x^2 + 5x - 2$. La réponse A est exacte. Une erreur fréquente consiste à oublier le signe 'moins' lors de la multiplication par $-1$.

Question 3 : Logique et mise en équation. Dans ce problème de parking, nous cherchons le nombre de voitures parmi 28 véhicules totalisant 80 roues. Méthode par substitution : si nous avons 12 voitures (réponse C), cela fait $12 \times 4 = 48$ roues. Il reste alors $28 - 12 = 16$ motos, soit $16 \times 2 = 32$ roues. Total : $48 + 32 = 80$. Le compte est bon. Algébriquement, si $x$ est le nombre de voitures, l'équation est $4x + 2(28 - x) = 80$.

Question 4 : Puissances de nombres relatifs. Le produit de 18 facteurs égaux à $-8$ s'écrit par définition sous la forme d'une puissance. Puisque le nombre multiplié est $-8$, il doit être impérativement placé entre parenthèses pour que le signe moins soit inclus dans la puissance : $(-8)^{18}$. Sans parenthèses, comme dans la réponse A, la puissance ne porterait que sur le 8, ce qui changerait le sens mathématique. La réponse B est donc la bonne.

Question 5 : Section d'un cylindre. Lorsqu'on coupe un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe, la section obtenue est toujours un rectangle. Les dimensions de ce rectangle sont : d'une part la hauteur du cylindre ($10 \text{ cm}$) et d'autre part une corde du cercle de base. La largeur de ce rectangle est donc nécessairement inférieure ou égale au diamètre ($4 \text{ cm}$). La réponse A ($3 \times 10$) est possible. La réponse B est impossible car $5 > 4$. La réponse C est fausse car la hauteur doit être de $10 \text{ cm}$ et non $8 \text{ cm}$.

Pièges à éviter et Conseils de Rédaction

Sur un QCM, même si la justification n'est pas demandée sur la copie, elle est indispensable au brouillon. Pour la notation scientifique, vérifiez toujours si votre résultat final redonne bien le nombre de départ. Pour le développement, surveillez les signes : un signe 'moins' devant une parenthèse ou dans une distribution est la source de 80% des erreurs en 3ème. En géométrie, apprenez par cœur les natures des sections (plan parallèle à la base vs plan parallèle à l'axe). Enfin, pour la rédaction, recopiez soigneusement le numéro de la question et la lettre ou la réponse complète sans rature, car le correcteur doit pouvoir vous lire instantanément pour vous attribuer le point.

Importance de cet exercice pour le Brevet

Maîtriser ce type d'exercice garantit 5 points rapides. Les puissances et le calcul littéral constituent le socle de l'algèbre au collège. Savoir passer d'un problème concret (les voitures et motos) à un modèle mathématique est une compétence clé du socle commun de connaissances. En révisant ce sujet de 2015, vous vous préparez à la polyvalence exigée le jour J.