Introduction aux probabilités au Brevet des Collèges

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de troisième. Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015, porte sur une situation concrète : le tirage de chocolats dans une boîte. L'objectif est de tester la capacité de l'élève à modéliser une expérience aléatoire, à dénombrer des issues et à ajuster ses calculs en fonction de l'évolution de l'univers (le nombre total d'objets). Maîtriser les TAGS : Probabilités est essentiel pour obtenir des points précieux lors de l'épreuve de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Calcul d'une probabilité simple

Dans cette première question, on nous demande la probabilité de tirer un chocolat au lait. Pour cela, il faut appliquer la formule fondamentale de Laplace : P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues. Tout d'abord, calculons le nombre total de chocolats dans la boîte : $10 + 8 + 6 = 24$. Il y a donc 24 issues possibles. Le nombre de chocolats au lait étant de 10, la probabilité est de $\frac{10}{24}$. Il est crucial pour un élève de 3ème de simplifier cette fraction. En divisant par 2, on obtient $\frac{5}{12}$. En SEO mathématique, on précisera toujours que les chocolats sont "indiscernables au toucher", ce qui garantit l'équiprobabilité.

Question 2 : Probabilité avec modification de l'univers

Ici, la difficulté augmente légèrement car l'état de la boîte a changé. Alexis a déjà consommé trois chocolats (un de chaque sorte). L'univers des possibles est donc réduit. Calculons les nouveaux effectifs : il reste $10 - 1 = 9$ chocolats au lait, $8 - 1 = 7$ chocolats noirs et $6 - 1 = 5$ chocolats blancs. Le nouveau total est de $24 - 3 = 21$ chocolats. La question porte sur la probabilité de tirer un chocolat noir. Le nombre d'issues favorables est 7. La probabilité est donc $\frac{7}{21}$. Cette fraction se simplifie par 7, ce qui nous donne exactement $\frac{1}{3}$. L'analyse pédagogique montre ici l'importance de bien lire l'énoncé pour ne pas rester sur le total initial de 24.

Question 3 : Événements successifs ou tirage simultané

Thomas prend deux chocolats au hasard. C'est une situation de tirage successif sans remise (ou tirage simultané, le résultat mathématique est identique). La probabilité d'obtenir deux chocolats blancs se calcule en multipliant les probabilités de chaque étape. Pour le premier chocolat, la probabilité de tirer un blanc est de $\frac{6}{24}$ (soit $\frac{1}{4}$). Une fois ce chocolat tiré, il ne reste plus que 5 chocolats blancs sur un total de 23 chocolats dans la boîte. La probabilité que le deuxième soit blanc sachant que le premier l'était est donc de $\frac{5}{23}$. La probabilité finale est le produit : $P = \frac{6}{24} \times \frac{5}{23} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{23} = \frac{5}{92}$. Ce type de calcul est un classique des épreuves de fin de cycle.

Les Pièges à Éviter

Le piège le plus fréquent dans cet exercice de 2015 est l'oubli de la mise à jour du dénominateur. Dans la question 2, si l'élève utilise 24 au lieu de 21, le résultat est faux. Dans la question 3, l'erreur classique est de faire $\frac{6}{24} \times \frac{6}{24}$, ce qui correspondrait à un tirage avec remise (on remet le chocolat dans la boîte avant de tirer le second). Or, Thomas "prend deux chocolats", ils sortent donc de la boîte définitivement. Attention également aux erreurs de calcul lors de la simplification des fractions. Utilisez toujours votre calculatrice pour vérifier vos fractions irréductibles.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Commencez par définir l'événement par une phrase, par exemple : "Soit L l'événement : tirer un chocolat au lait". Présentez explicitement le calcul du nombre total de chocolats. Utilisez une phrase de conclusion claire : "La probabilité que Thomas tire deux chocolats blancs est de $\frac{5}{92}$, soit environ 0,054". Une rédaction soignée montre au correcteur que vous maîtrisez la logique probabiliste et pas seulement la technique opératoire.