Introduction aux notions de Fonctions et Proportionnalité

L'exercice 2 du sujet de Brevet 2015 (Amérique du Nord) est un pilier fondamental pour comprendre l'articulation entre les mathématiques abstraites et les situations de la vie quotidienne. À travers l'étude d'une étape cycliste, les élèves de troisième sont amenés à manipuler des concepts de lecture graphique, d'interprétation de données et, surtout, à mobiliser les critères de la proportionnalité. En mathématiques, une fonction peut être représentée de trois manières : une formule, un tableau ou un graphique. Ici, c'est l'aspect graphique qui prévaut, illustrant la relation entre le temps (en heures) et la distance (en kilomètres).

Analyse Méthodique de l'Exercice : Guide de Résolution

La première partie de l'exercice demande une lecture directe du graphique. Il est crucial d'identifier d'abord les axes : l'axe des abscisses (horizontal) représente la durée de parcours en heures, tandis que l'axe des ordonnées (vertical) représente la distance parcourue en kilomètres.

1. Lecture graphique et interprétation

a) Distance totale : Pour répondre à cette question, il suffit de regarder le point d'arrivée de la courbe. Le dernier point marqué par une croix est situé à l'abscisse 4,5 et à l'ordonnée 190. On en déduit que la distance totale est de 190 km. En termes de fonctions, on pourrait dire que l'image de 4,5 par cette fonction distance est 190.

b) Temps pour les cent premiers kilomètres : Ici, nous cherchons l'antécédent de 100. En se plaçant à 100 sur l'axe des ordonnées et en suivant la ligne horizontale, on rencontre le segment de droite entre l'heure 2 et l'heure 3. En redescendant vers l'axe des abscisses, une lecture attentive (en tenant compte des pointillés tous les 0,5 unité) permet de situer précisément le temps nécessaire. Attention à bien observer les graduations cyan du quadrillage.

c) Distance lors de la dernière demi-heure : Cette question est plus subtile. Elle demande de calculer une différence de distance. La course s'arrête à 4,5h. La 'dernière demi-heure' se situe donc entre 4h et 4,5h. À t=4, la distance est de 170 km. À t=4,5, elle est de 190 km. Le calcul est simple : $190 - 170 = 20$. Le cycliste a parcouru 20 km en 30 minutes.

2. Analyse de la proportionnalité

La question de la proportionnalité est le cœur théorique de l'exercice. Un élève de 3ème doit savoir qu'une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine. Or, si l'on observe la courbe, bien qu'elle parte de l'origine (0,0), elle n'est pas rectiligne. Elle est composée de plusieurs segments avec des pentes différentes (ce que l'on appelle en mathématiques une fonction affine par morceaux). Chaque changement de pente correspond à un changement de vitesse moyenne. Puisque les points ne sont pas tous alignés sur une seule et même droite partant de l'origine, il n'y a pas proportionnalité entre la distance et la durée.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans la confusion entre les unités. Une durée de 4,5 heures ne signifie pas 4 heures et 5 minutes, mais bien 4 heures et 30 minutes (car 0,5 heure = 30 minutes). Un autre écueil est de conclure trop vite à la proportionnalité simplement parce que 'la courbe monte'. La proportionnalité exige une croissance régulière et constante, traduite par une pente unique.

Conseil de Rédaction pour Maximiser vos Points

Même si l'énoncé précise qu'aucune justification n'est demandée pour la première question, il est toujours valorisant de mentionner les coordonnées des points lus pour montrer au correcteur votre rigueur. Pour la question sur la proportionnalité, la justification attendue doit être claire : 'La représentation graphique n'est pas une droite, donc la distance n'est pas proportionnelle à la durée'. Utiliser le terme 'vitesse constante' est également un excellent moyen de montrer que vous comprenez le lien entre la physique et les mathématiques.