Introduction aux notions fondamentales

Cet exercice du Brevet de Mathématiques de Polynésie (session 2015) est un modèle du genre car il articule quatre compétences clés du socle commun : le calcul littéral, l'utilisation du tableur, la résolution d'équations et l'exécution d'un programme de calculs. Ces thématiques sont récurrentes à l'examen. Comprendre comment passer d'un énoncé textuel à une expression algébrique, puis à une automatisation numérique, est essentiel pour tout élève de 3ème souhaitant obtenir une mention.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Vérification d'une valeur numérique

La première étape consiste à tester le programme avec le nombre $7$. Il s'agit de suivre scrupuleusement l'algorithme :

• Étape 1 : $7 + 1 = 8$
• Étape 2 : $8^2 = 64$
• Étape 3 : $64 - 9 = 55$.

2. Gestion des nombres relatifs

On nous demande ensuite de tester le nombre $-6$. C'est ici que les erreurs de signes apparaissent souvent. Le calcul est le suivant :

• Étape 1 : $-6 + 1 = -5$
• Étape 2 : $(-5)^2 = 25$ (Rappel : le carré d'un nombre négatif est toujours positif !)
• Étape 3 : $25 - 9 = 16$.

3. L'outil Tableur et les formules de recopie

Jim utilise un tableur pour automatiser le programme. La colonne A contient les nombres de départ ($x$). La colonne B correspond à la première étape du programme : 'Ajouter 1'. En informatique (Excel ou LibreOffice Calc), une formule commence toujours par le signe $=$. Puisqu'on veut ajouter 1 à la valeur située dans la cellule A2, la formule à saisir en B2 est : =A2+1. Cette formule est ensuite 'étirée' vers le bas, incrémentant automatiquement les références des cellules (A3, A4, etc.).

4. De l'arithmétique à l'algèbre : l'équation produit nul

La dernière question est la plus exigeante. On cherche à savoir quels nombres de départ donnent un résultat final de $0$. Pour résoudre cela, il faut traduire le programme en une expression littérale. Soit $x$ le nombre choisi :

• Expression : $(x + 1)^2 - 9$

Méthode par l'identité remarquable

On reconnaît la forme $a^2 - b^2$ avec $a = (x+1)$ et $b = 3$ (car $3^2 = 9$).
D'où : $(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = 0$
$(x - 2)(x + 4) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On obtient deux solutions : $x = 2$ ou $x = -4$.

Méthode par vérification du tableur

Le tableau montre déjà que pour $x = 2$, le résultat final est $0$ (ligne 14). Cependant, le tableur ne donne qu'une partie des solutions. Seule la résolution algébrique permet d'affirmer qu'il existe une seconde solution : $-4$.

Les Pièges à éviter

Attention à ne pas oublier le carré lors de la modélisation. Une erreur fréquente consiste à écrire $x + 1^2$ au lieu de $(x + 1)^2$. La différence est majeure ! De même, dans la partie tableur, ne confondez pas 'valeur' et 'formule'. L'examinateur attend une formule utilisant les références de cellules.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, détaillez chaque étape de calcul. Présentez clairement l'équation produit nul en citant la propriété : 'Si un produit de facteurs est nul, alors...'. Cela montre au correcteur que vous ne devinez pas le résultat mais que vous maîtrisez la logique mathématique. Enfin, vérifiez toujours vos solutions en les réinjectant dans le programme initial pour vous assurer que vous tombez bien sur zéro.