Introduction aux équations et aux systèmes linéaires
Le Brevet des collèges de la série 2015 en Métropole proposait cet exercice classique de mise en équation d'un problème concret. L'objectif principal de cette épreuve est de tester la capacité de l'élève à traduire un énoncé en langage mathématique. Nous allons aborder ici la notion de système d'équations à deux inconnues, bien que l'énoncé de 3ème puisse parfois être résolu par substitution directe ou par une approche plus intuitive. La maîtrise du calcul littéral et de la résolution d'équations du premier degré est indispensable pour réussir cette partie du programme de mathématiques.
Analyse Méthodique du Problème
Pour résoudre ce type de problème, la première étape cruciale est le choix des inconnues. Nous devons identifier les deux valeurs que nous ne connaissons pas. Dans cet énoncé, il s'agit du prix d'un pot de miel et du prix d'un pain d'épices.
Appelons :
- $x$ le prix d'un pot de miel (en euros) ;
- $y$ le prix d'un pain d'épices (en euros).
Ensuite, nous traduisons les informations données pour les deux premiers amis :
1. Le premier ami : "deux pots de miel et trois pains d'épices pour 24 euros" se traduit par l'équation : $2x + 3y = 24$.
2. Le deuxième ami : "un pot de miel et deux pains d'épices pour 14,50 euros" se traduit par l'équation : $x + 2y = 14,50$.
Nous obtenons ainsi un système d'équations. La méthode la plus simple ici est la substitution. À partir de la deuxième équation, nous pouvons exprimer $x$ en fonction de $y$ :
$x = 14,50 - 2y$.
Nous remplaçons maintenant cette expression de $x$ dans la première équation :
$2(14,50 - 2y) + 3y = 24$
En développant, nous obtenons :
$29 - 4y + 3y = 24$
$-y = 24 - 29$
$-y = -5$
$y = 5$.
Le prix d'un pain d'épices est donc de 5 €. Nous en déduisons le prix du pot de miel en remplaçant $y$ par 5 dans l'expression de $x$ :
$x = 14,50 - 2 \times 5 = 14,50 - 10 = 4,50$.
Le prix d'un pot de miel est de 4,50 €.
Calcul pour le Troisième Ami
Maintenant que nous connaissons les prix unitaires, nous pouvons calculer le montant pour le troisième ami qui achète trois pots de miel et un pain d'épices :
$3x + 1y = 3 \times 4,50 + 5 = 13,50 + 5 = 18,50$.
Le troisième ami va donc payer 18,50 €.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente lors des épreuves du Brevet est l'oubli de la définition des inconnues. Si vous écrivez directement les équations sans préciser ce que représentent $x$ et $y$, le correcteur risque de vous retirer des points de rédaction. Attention également aux unités ! Assurez-vous que toutes les valeurs sont exprimées en euros pour éviter les erreurs de calcul décimal.
Un autre piège classique réside dans le calcul du troisième achat. Certains élèves s'arrêtent après avoir trouvé $x$ et $y$, oubliant que la question finale demande le montant total pour le troisième ami. Lisez toujours la question finale deux fois avant de rendre votre copie.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points sur cet exercice, structurez votre réponse en quatre blocs clairs :
1. **Définition des variables** : "Soit $x$ le prix d'un pot de miel..."
2. **Mise en équation** : Présentez le système proprement avec une accolade si possible, ou listez les deux équations clairement.
3. **Résolution étape par étape** : Ne sautez pas de lignes de calcul. Détaillez le passage du terme de l'autre côté de l'égalité en changeant le signe.
4. **Phrase de conclusion** : Répondez explicitement à la question posée avec l'unité correcte (l'euro). Une vérification rapide (vérifier que $2 \times 4,5 + 3 \times 5$ fait bien 24) permet de s'assurer de la justesse de son résultat avant de passer à l'exercice suivant.