Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 4 du sujet du Brevet 2015 (Zone Étrangers) est un classique incontournable qui croise trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul littéral, la résolution d'équations du premier degré et l'utilisation d'un tableur. Cet exercice demande à l'élève de passer d'un programme de calcul exprimé en langage naturel à une expression algébrique, tout en utilisant des outils numériques pour conjecturer une solution. La maîtrise de ces notions est cruciale car elle représente souvent une part importante des points lors de l'épreuve finale.

Analyse méthodique : Le Tableur (Question 1)

La première partie de l'exercice sollicite votre compétence à traduire un algorithme en syntaxe de tableur. Le programme de Mathilde consiste à multiplier par 9 puis soustraire 8. En mathématiques, si le nombre de départ est \(x\), le résultat est \(9x - 8\). Dans un tableur, pour la cellule B2, on utilise la référence de la cellule du dessus (B1). La formule est donc : =9*B1-8. Pour le programme de Paul, qui consiste à multiplier par -3 et ajouter 31, l'expression est \(-3x + 31\). La formule à saisir en B3 est donc : =-3*B1+331. Attention : N'oubliez jamais le signe '=' au début d'une formule de tableur, sans quoi le logiciel ne reconnaîtra pas l'opération comme un calcul mais comme une simple chaîne de caractères.

Interprétation de la conjecture (Question 2)

La question sur la conjecture est souvent source d'hésitation. On vous demande d'observer les résultats dans le tableau de la question 2. Cherchons où les valeurs de Mathilde et de Paul se croisent. Dans la colonne E (nombre de départ 3), Mathilde obtient 19 et Paul obtient 22. Dans la colonne F (nombre de départ 4), Mathilde obtient 28 et Paul obtient 19. On remarque qu'en passant de 3 à 4, le résultat de Mathilde dépasse celui de Paul. On peut donc conjecturer que le nombre cherché pour lequel les deux programmes donnent le même résultat se situe entre 3 et 4. On parle ici d'un encadrement à l'unité : \(3 < x < 4\).

Résolution algébrique et démonstration (Question 3)

Pour passer de la conjecture à la certitude, la résolution d'une équation est indispensable. C'est ici que le calcul littéral prend tout son sens. Posons \(x\) comme le nombre de départ. Nous devons résoudre l'égalité des deux programmes :
\(9x - 8 = -3x + 31\)

Étape 1 : On regroupe les termes en \(x\) d'un côté de l'égalité. En ajoutant \(3x\) des deux côtés, on obtient :
\(9x + 3x - 8 = 31\)
\(12x - 8 = 31\)

Étape 2 : On isole le terme en \(x\). En ajoutant 8 des deux côtés :
\(12x = 31 + 8\)
\(12x = 39\)

Étape 3 : On divise par le coefficient de \(x\) :
\(x = \frac{39}{12}\)
\(x = 3,25\).

Le nombre de départ commun doit être 3,25. On vérifie immédiatement la conjecture : 3,25 est bien compris entre 3 et 4.

Les pièges classiques à éviter

1. L'erreur de signe : Dans le programme de Paul, multiplier par -3 nécessite une attention particulière lors de la résolution de l'équation. Ne transformez pas \(-3x\) en \(3x\) par magie lors du passage de l'autre côté de l'égalité sans changer son signe global.
2. Les priorités opératoires : Bien que simples ici, gardez en tête que dans un programme de calcul, l'ordre des étapes est primordial. Ici, la soustraction vient après la multiplication.
3. Confondre valeur et cellule : Dans le tableur, ne tapez pas =9*1-8 en B2 mais bien =9*B1-8 pour permettre l'étirement de la formule sur les autres colonnes.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour satisfaire le correcteur du Brevet, structurez votre réponse. Pour la question 3, commencez par une phrase claire : 'Soit \(x\) le nombre de départ choisi par Mathilde et Paul.' Présentez vos étapes de calcul de manière alignée. Enfin, n'oubliez pas de conclure en revenant à la question posée : 'Le nombre à saisir pour obtenir le même résultat est donc 3,25. Cette valeur confirme la conjecture faite précédemment puisque \(3 < 3,25 < 4\).' Une rédaction soignée montre que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique scientifique.