Introduction aux Fonctions et à la Lecture Graphique

L'exercice 2 du sujet de Brevet Polynésie 2015 est un classique incontournable portant sur l'étude des fonctions à travers la lecture graphique. Dans ce problème concret, la fonction n'est pas donnée par une expression algébrique complexe (bien que le code source LaTeX révèle une fonction exponentielle du type $f(x) = a e^{bx} + c$), mais par une courbe représentative. L'objectif pour un élève de 3ème est de savoir extraire des informations précises d'un repère orthogonal : identifier l'image d'un nombre (le niveau de bruit pour une distance donnée) et déterminer un antécédent (la distance pour un niveau sonore ciblé).

Analyse Méthodique de la Première Partie : La Tondeuse

La première partie de l'exercice demande une lecture directe sur le graphique de la tondeuse à gazon. Ici, l'axe des abscisses (horizontal) représente la distance $d$ en mètres, tandis que l'axe des ordonnées (vertical) représente le niveau de bruit en décibels (dB).

Question 1.a : Trouver l'image de 100

Pour répondre à la question « Quel est le niveau de bruit à une distance de 100 mètres ? », l'élève doit repérer la valeur $100$ sur l'axe horizontal. En remontant verticalement jusqu'à rencontrer la courbe bleue, puis en projetant ce point sur l'axe vertical, on lit une valeur. Sur le graphique de 2015, à $100$ m, le niveau sonore se situe légèrement au-dessous de la graduation $50$ dB. Une observation attentive permet de valider environ $47$ ou $48$ décibels. Puisqu'aucune justification n'est attendue, la précision de la lecture est primordiale.

Question 1.b : Trouver l'antécédent de 60

La question inverse est posée : « À quelle distance se trouve-t-on pour 60 dB ? ». Cette fois, on part de l'axe des ordonnées à la graduation $60$. On se déplace horizontalement vers la droite jusqu'à la courbe, puis on redescend verticalement vers l'axe des abscisses. On tombe entre $30$ et $40$ mètres. La lecture précise indique environ $35$ mètres. C'est ce qu'on appelle, en langage mathématique, chercher l'antécédent de $60$ par la fonction représentée.

Analyse Comparative : Machine A vs Machine B

La seconde partie de l'exercice introduit une dimension logique et comparative. On nous présente deux nouvelles machines industrielles. L'énoncé stipule que le port du casque est obligatoire à partir d'un même niveau de bruit pour toutes les machines de l'usine.

Étape 1 : Déterminer le seuil critique avec la Machine A

On nous informe que pour la machine A, le casque est obligatoire à moins de $5$ mètres. Pour trouver le niveau sonore de référence, il faut donc chercher l'image de $5$ sur le graphique de la Machine A. En repérant $5$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe et on lit sur l'axe des ordonnées. On constate que le niveau de bruit est de $88$ décibels environ (ou une valeur proche de $90$ selon la précision du tracé). Ce chiffre de $88$ dB devient notre valeur constante de référence pour l'usine.

Étape 2 : Appliquer le seuil à la Machine B

Maintenant que nous savons que le casque est obligatoire dès que le bruit atteint $88$ dB, nous devons chercher à quelle distance la Machine B produit ce même volume. On prend la valeur $88$ sur l'axe des ordonnées du graphique de la Machine B, on rejoint la courbe, et on redescend sur l'axe des distances. On observe que l'on atteint ce niveau à une distance d'environ $10$ mètres. Conclusion : pour la machine B, le port du casque est obligatoire dès que l'on se trouve à moins de $10$ mètres.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le premier piège dans ce type d'exercice est l'erreur d'échelle. Notez que sur les graphiques des machines A et B, les unités ne sont pas les mêmes que sur le premier graphique (le pas des graduations change). Il est crucial de bien compter les carreaux : sur l'axe des abscisses, une graduation peut représenter $5$ unités, alors que sur l'autre, elle en représente $10$.

Même si l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue pour la question 1, pour la question 2, il est conseillé d'écrire une courte phrase logique : « D'après le graphique de la machine A, à 5 m le niveau de bruit est de 88 dB. En reportant cette valeur sur le graphique B, on trouve une distance de 10 m. ». Cela montre au correcteur que votre démarche est structurée.

Pourquoi cette notion de fonction est-elle importante ?

Au-delà du Brevet, la compréhension des fonctions décroissantes (ici, plus la distance augmente, plus le bruit diminue) est fondamentale en sciences physiques et en ingénierie. L'étude de la pollution sonore utilise précisément ces modèles. En mathématiques de 3ème, cet exercice prépare également à la notion de fonctions affines et linéaires, même si ici les courbes sont non-linéaires (allure hyperbolique ou exponentielle). Maîtriser la lecture d'un repère orthogonal est la compétence de base qui servira tout au long du lycée, quelle que soit la filière choisie.