Introduction aux configurations géométriques du Brevet
L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet de la Métropole 2015 est un classique indémodable qui mobilise les deux piliers de la géométrie de troisième : le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. Ces notions ne sont pas seulement des outils de calcul, elles sont le fondement du raisonnement déductif en mathématiques. Dans cet énoncé, nous sommes face à une figure complexe composée de triangles emboîtés. L'objectif est de mobiliser les bonnes propriétés pour extraire des longueurs à partir d'un nombre restreint de données : $DA = 60$ cm, $DK = 11$ cm et $DP = 45$ cm. La réussite de cet exercice dépend de votre capacité à identifier quel théorème s'applique à quelle configuration : le triangle rectangle pour Pythagore et les droites parallèles pour Thalès.
Analyse Méthodique : Question 1 - Le calcul de KA
La première question nous demande de calculer la longueur $KA$. En observant la figure (même si elle n'est pas à l'échelle), on remarque la présence d'un angle droit au sommet $K$. Les points $D, K, A$ forment donc un triangle $DKA$ rectangle en $K$. C'est l'indice immédiat pour l'utilisation du théorème de Pythagore. Le théorème stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Ici, l'hypoténuse est le côté $[DA]$, qui est le côté opposé à l'angle droit. On a donc la relation suivante : $DA^2 = DK^2 + KA^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies dans l'énoncé, nous obtenons : $60^2 = 11^2 + KA^2$. Le calcul des carrés nous donne $3600 = 121 + KA^2$. Pour isoler $KA^2$, il suffit de soustraire $121$ de $3600$, ce qui donne $KA^2 = 3479$. Pour obtenir la longueur $KA$, nous utilisons la racine carrée : $KA = \sqrt{3479}$. La calculatrice nous affiche environ $58,98304...$ cm. L'énoncé demande une précision au millimètre près. Comme $1$ cm vaut $10$ mm, nous devons arrondir au dixième (le premier chiffre après la virgule). Comme le chiffre des centièmes est un $8$, on arrondit à l'unité supérieure : $KA \approx 59,0$ cm.
Analyse Méthodique : Question 2 - Le calcul de HP
La deuxième question porte sur le calcul de la longueur $HP$. Pour cela, nous devons changer d'outil. On remarque que $[HP]$ est parallèle à $[DK]$ car elles sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(KA)$. Cette configuration de triangles emboîtés (le petit triangle $AHP$ dans le grand triangle $AKD$) avec des bases parallèles est la signature du théorème de Thalès.
Avant d'appliquer Thalès, il est crucial de calculer la longueur $AP$. On sait que les points $D, P$ et $A$ sont alignés dans cet ordre. Par conséquent, $DA = DP + PA$. On en déduit que $PA = DA - DP$, soit $PA = 60 - 45 = 15$ cm. Maintenant, nous pouvons poser les rapports de Thalès dans les triangles $AHP$ et $AKD$ : $AP/AD = AH/AK = HP/DK$. En utilisant les valeurs connues, nous avons : $15 / 60 = HP / 11$. Pour trouver $HP$, on effectue un produit en croix : $HP = (15 \times 11) / 60$. On peut simplifier $15/60$ par $1/4$. Ainsi, $HP = 11 / 4 = 2,75$ cm. La précision est ici exacte, pas besoin d'arrondi.
Les Pièges à éviter lors de l'examen
Le premier piège est l'oubli de la soustraction pour trouver $AP$. Beaucoup d'élèves utilisent directement $DP=45$ dans les rapports de Thalès, ce qui fausse totalement le résultat. Rappelez-vous : Thalès s'applique sur les segments partant du sommet commun (ici le point $A$). Le deuxième piège réside dans les unités et les arrondis. Si on vous demande un arrondi au millimètre, ne donnez pas un nombre entier sans virgule si le résultat n'est pas rond. Enfin, attention à bien identifier l'hypoténuse. Dans la précipitation, certains pourraient écrire $KA^2 = DA^2 + DK^2$, ce qui est une erreur fatale.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être rigoureuse. Utilisez des connecteurs logiques. Pour Pythagore : 'On sait que le triangle DKA est rectangle en K. D'après le théorème de Pythagore, on a...'. Pour Thalès : 'On sait que les droites (DK) et (HP) sont parallèles (car perpendiculaires à une même droite). Les points A, P, D et A, H, K sont alignés. D'après le théorème de Thalès, on a...'. Une figure bien analysée et une rédaction structurée garantissent la confiance du correcteur et une note optimale.