Introduction aux configurations géométriques du Brevet

Le théorème de Thalès constitue l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques de troisième (3ème) et une épreuve quasi systématique au Diplôme National du Brevet (DNB). Dans cet exercice issu de la session 2015 pour la zone Amérique du Nord, nous plongeons dans une situation concrète : la captation télévisuelle d'une course cycliste. L'énoncé met en scène des objets en mouvement (motos, hélicoptères, avion) pour modéliser une configuration géométrique classique de triangles emboîtés. L'objectif pédagogique est double : d'une part, tester la capacité de l'élève à extraire des propriétés géométriques d'un texte descriptif, et d'autre part, appliquer avec rigueur le calcul de proportionnalité des longueurs.

Analyse de l'énoncé et décryptage des données

Avant de se lancer dans les calculs, une lecture attentive des données est primordiale. L'énoncé nous fournit plusieurs informations cruciales : les points A, L, N sont alignés, tout comme les points A, H, M. Cela définit immédiatement la structure nécessaire à l'application du théorème de Thalès dans le triangle AMN, où le segment [LH] est situé à l'intérieur. Les distances fournies sont hétérogènes en termes d'unités : nous avons $AM = AN = 1$ km et $AH = AL = 720$ m. Le premier réflexe d'un expert en mathématiques est de convertir toutes les mesures dans la même unité pour éviter des erreurs de calcul élémentaires mais fatales. Ici, convertir 1 km en 1000 m est la stratégie la plus simple pour manipuler des nombres entiers.

Question 1 : La preuve du parallélisme par l'analyse textuelle

Dans la première question, il ne s'agit pas de faire un calcul, mais de faire preuve de logique et de lecture sélective. L'énoncé précise que « les deux hélicoptères se situent à la même altitude » (ce qui définit la droite (LH) comme parallèle au sol) et que « le peloton des coureurs roule sur une route horizontale » (ce qui définit la droite (MN) comme étant le sol lui-même). En géométrie plane, deux droites horizontales (ou parallèles à une même troisième droite de référence) sont nécessairement parallèles entre elles. Cette justification est indispensable : au Brevet, la simple mention du parallélisme sans citer la phrase source ne permet pas d'obtenir l'intégralité des points de rédaction.

Question 2 : Maîtriser le Théorème de Thalès étape par étape

Pour calculer la distance $MN$, nous devons appliquer le théorème de Thalès. La rédaction doit être irréprochable. On commence par énoncer les conditions d'application : les droites (LN) et (HM) sont sécantes en A. Les droites (LH) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire l'égalité des rapports de longueurs suivants : $\frac{AL}{AN} = \frac{AH}{AM} = \frac{LH}{MN}$. En remplaçant par les valeurs numériques connues, nous obtenons : $\frac{720}{1000} = \frac{270}{MN}$. Pour isoler l'inconnue $MN$, nous utilisons le produit en croix (ou règle de proportionnalité) : $MN = \frac{270 \times 1000}{720}$. Le calcul donne $MN = \frac{270000}{720} = 375$ mètres. La distance entre les deux motos est donc de 375 mètres.

Les pièges classiques : Unités et Identification des Sommets

L'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice réside dans l'oubli de la conversion d'unités. Utiliser 1 (km) au lieu de 1000 (m) fausserait totalement le rapport de proportionnalité. Un autre piège concerne l'ordre des points dans les fractions. Rappelez-vous toujours la règle : 'petit côté sur grand côté' ou 'grand côté sur petit côté', mais ne mélangez jamais les deux au sein d'une même égalité. Si vous commencez par $AL/AN$ (petit/grand), le rapport suivant doit impérativement être $LH/MN$ (petit/grand). Enfin, faites attention à la figure : bien que l'avion soit le sommet commun, assurez-vous de bien identifier quels segments sont portés par les mêmes droites.

Méthodologie de rédaction pour maximiser ses points

Le correcteur du Brevet n'évalue pas seulement le résultat final, mais surtout le raisonnement. Pour obtenir la note maximale : 1. Nommez le théorème utilisé explicitement. 2. Listez les hypothèses (alignement et parallélisme). 3. Écrivez les rapports sous forme littérale avant de passer aux chiffres. 4. Concluez par une phrase réponse claire incluant l'unité (mètres). Cette rigueur démontre que vous ne vous contentez pas d'appliquer une recette, mais que vous comprenez la structure logique de la géométrie euclidienne.

Pourquoi Thalès est-il indispensable pour le DNB ?

Le théorème de Thalès n'est pas qu'un simple outil de calcul ; c'est un concept qui illustre l'homothétie et l'agrandissement-réduction. Dans cet exercice, le triangle ALH est une réduction du triangle ANM. Le coefficient de réduction est de $0,72$ ($720 / 1000$). Comprendre cette notion permet de vérifier la cohérence de vos résultats de manière intuitive : si $AL$ est plus petit que $AN$, alors $LH$ doit obligatoirement être plus petit que $MN$. Si vous trouvez une valeur inférieure à 270 m pour $MN$, vous saurez immédiatement qu'il y a une erreur dans votre calcul.