Introduction aux notions de Trigonométrie et Calcul Numérique

Le Brevet des Collèges, et plus spécifiquement la session 2015 en Métropole, a proposé un exercice pratique mêlant géométrie et vie quotidienne. L'exercice 7 se concentre sur l'interprétation des panneaux de signalisation routière indiquant une pente. Cette thématique est un classique de l'épreuve car elle permet d'évaluer la compréhension d'un concept physique à travers deux outils mathématiques majeurs du cycle 4 : la trigonométrie dans le triangle rectangle et le calcul numérique (pourcentages et ratios). Pour réussir ce type d'épreuve, l'élève doit non seulement connaître ses formules, mais surtout savoir quelle donnée correspond à quel côté du triangle (opposé, adjacent ou hypoténuse).

Analyse Méthodique de la Question 1 : Calcul de l'angle d'inclinaison

La première question nous demande de déterminer la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ formé par la route et l'horizontale. L'énoncé définit une pente de 10% comme un dénivelé de 10 mètres pour un déplacement horizontal de 100 mètres.

Dans le schéma mathématique fourni, cela se traduit par un triangle ABC rectangle en B où :
1. Le segment [AB] représente le dénivelé (côté opposé à l'angle recherché) et mesure 10 m.
2. Le segment [BC] représente le déplacement horizontal (côté adjacent à l'angle recherché) et mesure 100 m.

Pour relier le côté opposé et le côté adjacent, nous devons utiliser la tangente de l'angle. La rédaction doit être précise : 'Dans le triangle ABC rectangle en B, on a $\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC}$'. En remplaçant par les valeurs, on obtient $\tan(\widehat{BCA}) = \frac{10}{100} = 0,1$. Pour obtenir la mesure de l'angle, l'usage de la calculatrice est indispensable avec la fonction $\arctan$ ou $\tan^{-1}$. Le calcul nous donne environ $5,71^{\circ}$. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse finale est $6^{\circ}$.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Comparaison de pentes et ratios

La seconde partie de l'exercice introduit une variante internationale de l'affichage des pentes : le format ratio '1 : 5'. L'objectif ici est de comparer la raideur de deux pentes : 15% (Panneau A) et 1:5 (Panneau B).

Pour effectuer une comparaison efficace, il est nécessaire de convertir ces données dans la même unité ou sous le même format.
- Le Panneau A indique 15%, soit une fraction de $15/100$ ou un coefficient de $0,15$.
- Le Panneau B indique '1 : 5', ce qui signifie, d'après l'énoncé, 1 mètre de dénivelé pour 5 mètres horizontaux. Sous forme fractionnaire, cela correspond à $1/5$.

Pour comparer $15/100$ et $1/5$, nous pouvons transformer $1/5$ pour obtenir un dénominateur cent : $1/5 = (1 \times 20) / (5 \times 20) = 20/100$. Ainsi, une pente de 1:5 équivaut à une pente de 20%. En comparant les deux valeurs, $20\% > 15\%$, nous en déduisons que le Panneau B indique la pente la plus forte. Cette question teste la capacité de l'élève à manipuler les proportions et à ne pas se fier uniquement à l'apparence des chiffres.

Les Pièges Classiques à éviter

Lors de la résolution de cet exercice, plusieurs erreurs peuvent coûter des points précieux :
1. **Le mode de la calculatrice** : C'est l'erreur la plus fréquente. Assurez-vous que votre calculatrice affiche un 'D' ou 'DEG' en haut de l'écran. Si elle est en Radians, votre angle sera totalement erroné.
2. **Confusion entre Tangente et Sinus** : Certains élèves utilisent l'hypoténuse (la longueur de la route) au lieu du déplacement horizontal. Rappelez-vous que la pente est définie par le rapport entre la montée verticale et la distance horizontale (Côté Opposé / Côté Adjacent).
3. **Mauvaise lecture du ratio** : Ne pas confondre 1:5 avec 5%. Il faut bien lire la définition donnée : 'pour 5 m, on monte de 1 m'.
4. **Oubli de la rédaction** : Ne donnez jamais un résultat brut. Nommez le triangle, précisez qu'il est rectangle et citez la formule trigonométrique utilisée.

Conseils de Rédaction pour l'épreuve de mathématiques

Pour valoriser votre copie, structurez votre réponse en trois étapes : 'Je sais que', 'J'utilise la propriété/formule', 'Je conclus'. Par exemple, pour la question sur la comparaison, montrez explicitement votre calcul de passage de $1/5$ à $0,20$. Une démonstration visuelle claire permet au correcteur de comprendre votre raisonnement même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin. Enfin, n'oubliez pas les unités et respectez scrupuleusement les consignes d'arrondi (ici, au degré près).