Introduction aux notions de Trigonométrie et Proportionnalité

Dans cet exercice issu du Brevet des collèges (Zone Asie, 2015), nous abordons une situation concrète de navigation maritime : la détermination d'une distance $d$ par la méthode de la triangulation. Ce problème est une excellente synthèse pour les élèves de 3ème car il combine l'utilisation d'échelles (proportionnalité), la géométrie de construction et des outils trigonométriques avancés comme la 'loi des sinus'. L'objectif est de comprendre comment, à partir d'une ligne de base $L$ et de deux angles de visée $\alpha$ et $\beta$, on peut localiser un point avec précision.

Analyse Méthodique de la Partie 1 : La Conjecture par Construction

La première phase de l'exercice repose sur la mise en pratique de la proportionnalité à travers une échelle de 1/1000. Qu'est-ce que cela signifie concrètement ? Cela indique que 1 cm sur le papier représente 1000 cm dans la réalité, soit 10 mètres. Pour une distance réelle $L = 80$ m, l'élève doit donc tracer un segment $[AB]$ de $8$ cm sur sa copie. Cette étape est cruciale : une erreur d'échelle fausserait toute la conjecture suivante.

Une fois la base tracée, l'utilisation du rapporteur est indispensable pour marquer les angles $\alpha = 45^\circ$ et $\beta = 65^\circ$. Le point d'intersection des deux demi-droites formées définit la position du bateau (point C). La 'conjecture' consiste ensuite à mesurer physiquement la distance séparant le point C de la droite (AB) à l'aide d'une règle, puis à reconvertir cette mesure en mètres en multipliant par 10.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Le Calcul de Précision

La seconde partie délaisse l'estimation pour la rigueur mathématique. La question 2.a demande de justifier la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$. Le raisonnement s'appuie sur la propriété fondamentale du triangle : la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$. Ainsi, $\widehat{ACB} = 180 - (45 + 65) = 70^\circ$.

Ensuite, l'énoncé introduit la Loi des Sinus : $\frac{BC}{\sin \widehat{A}} = \frac{AC}{\sin \widehat{B}} = \frac{AB}{\sin \widehat{C}}$. C'est un moment charnière du problème. Pour calculer $BC$, nous utilisons l'égalité : $\frac{BC}{\sin(45)} = \frac{80}{\sin(70)}$. Par un produit en croix, on obtient $BC = \frac{80 \times \sin(45)}{\sin(70)}$. L'utilisation de la calculatrice en mode 'Degrés' est ici impérative pour ne pas commettre d'erreur de calcul.

Enfin, pour déterminer $d$ (qui correspond à la longueur $CH$), nous travaillons dans le triangle $BHC$ rectangle en $H$. En utilisant le sinus de l'angle $\beta$, nous avons $\sin(65) = \frac{CH}{BC}$, d'où $CH = BC \times \sin(65)$. Cette cascade de calculs permet d'obtenir une valeur précise au centimètre près.

Les Pièges Classiques à Éviter

1. Le paramétrage de la calculatrice : C'est la cause numéro 1 d'échec en trigonométrie. Assurez-vous que l'indicateur 'DEG' est bien visible sur votre écran et non 'RAD' ou 'GRAD'.
2. L'arrondi final : L'énoncé demande un arrondi au centimètre près. Comme les calculs se font en mètres, il faut garder au moins deux chiffres après la virgule ($0,01$ m = $1$ cm) avant de conclure.
3. Confusion entre hauteur et côté : La distance $d$ est la hauteur du triangle, ne la confondez pas avec les segments $[AC]$ ou $[BC]$.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses : commencez toujours par citer la propriété utilisée (ex: 'Dans un triangle rectangle...', 'D'après la loi des sinus...'). Présentez vos calculs littéraux avant de passer à l'application numérique. Enfin, n'oubliez jamais l'unité dans votre phrase de conclusion. La clarté de la figure en partie 1 compte également pour une part importante de la note de soin et de géométrie.