Introduction aux Systèmes d'Équations et Modélisation
L'épreuve du Brevet des Collèges 2015 en Polynésie propose, dans son exercice 4, un défi classique de modélisation algébrique. Bien que le tag actuel indique 'Hors programme', il s'agit d'une compétence fondamentale pour tout élève de troisième souhaitant anticiper sereinement l'entrée en classe de Seconde. Le cœur de cet exercice réside dans la capacité à traduire une situation concrète (l'achat de fleurs) en un langage mathématique rigoureux : le système d'équations linéaires à deux inconnues. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver un résultat numérique, mais de structurer une pensée logique permettant de résoudre n'importe quel problème de prix ou de quantités.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
Pour aborder cet exercice de manière efficace, il faut procéder par étapes. La première étape cruciale est la définition des variables. L'énoncé nous parle de deux types de fleurs : les tulipes et les roses. Nous allons donc poser :
- Soit $T$ le prix unitaire d'une tulipe en euros.
- Soit $R$ le prix unitaire d'une rose en euros.
Une fois les variables identifiées, nous devons extraire les informations numériques de l'énoncé pour construire nos équations. La première phrase nous dit : 'un bouquet composé de 5 tulipes et 2 roses coûte 13,70 euros'. En langage mathématique, cela se traduit par l'équation suivante : $5T + 2R = 13,70$. La seconde information est plus simple : 'Une tulipe et une rose valent ensemble 4,30 euros', ce qui nous donne l'équation : $T + R = 4,30$.
Résolution pas à pas du Système
Nous nous retrouvons face à un système de deux équations à deux inconnues :
1) $5T + 2R = 13,70$
2) $T + R = 4,30$
Pour résoudre ce système, deux méthodes principales s'offrent à nous : la substitution ou la combinaison linéaire. Dans le cadre de cet exercice, la méthode par substitution est la plus intuitive. À partir de la deuxième équation, nous pouvons exprimer $R$ en fonction de $T$ : $R = 4,30 - T$.
Maintenant, nous allons injecter cette expression de $R$ dans la première équation : $5T + 2(4,30 - T) = 13,70$. Développons ensuite l'expression : $5T + 8,60 - 2T = 13,70$. Regroupons les termes en $T$ : $3T + 8,60 = 13,70$. Pour isoler $T$, nous soustrayons 8,60 des deux côtés : $3T = 13,70 - 8,60$, soit $3T = 5,10$. Enfin, en divisant par 3, nous trouvons le prix d'une tulipe : $T = 1,70$ euros.
La dernière étape consiste à trouver le prix de la rose. Reprenons notre expression $R = 4,30 - T$. En remplaçant $T$ par 1,70, nous obtenons $R = 4,30 - 1,70 = 2,60$ euros. Nous avons donc déterminé le prix unitaire de chaque fleur grâce à une démarche algébrique structurée.
Les Pièges à Éviter lors de l'Examen
De nombreux élèves commettent des erreurs d'étourderie qui peuvent coûter cher. Le piège principal dans ce type d'exercice est l'oubli des unités. Un résultat mathématique sans son unité (ici l'euro) perd de son sens dans un problème de vie courante. Ensuite, attention aux erreurs de calcul lors de la distribution du facteur (le '2' devant la parenthèse dans notre substitution). Enfin, l'erreur la plus fréquente est de ne pas vérifier ses résultats. Une simple vérification mentale permet de s'assurer de la justesse de sa réponse : $5 \times 1,70 + 2 \times 2,60 = 8,50 + 5,20 = 13,70$. La vérification confirme que nos valeurs sont exactes.
Conseils de Rédaction pour Maximiser les Points
Au Brevet, la clarté de la rédaction est aussi importante que la justesse du résultat. Pour obtenir le maximum de points, votre copie doit suivre un plan clair :
1. Annonce des inconnues : Ne commencez jamais vos calculs sans avoir écrit 'Soit $x$ le prix de...'.
2. Mise en système : Présentez clairement les deux équations avec une accolade ou en les numérotant.
3. Détail des étapes : Ne sautez pas de lignes de calcul. Le correcteur doit pouvoir suivre votre logique, même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin.
4. Phrase de conclusion : Terminez toujours par une phrase explicite : 'Une tulipe coûte 1,70 € et une rose coûte 2,60 €'. Cela montre que vous avez compris l'enjeu du problème et que vous savez communiquer vos résultats.
Pourquoi cet exercice est-il considéré comme 'Hors Programme' ?
Dans les récents programmes du cycle 4, l'étude formelle des systèmes d'équations linéaires a été largement allégée au profit de la résolution de problèmes par des méthodes de tâtonnement ou par des équations à une seule inconnue. Cependant, cet exercice de 2015 reste un excellent support de révision car il sollicite la compétence 'Modéliser'. Savoir passer du texte aux symboles est une compétence transversale qui dépasse largement le cadre strict du programme de troisième. Maîtriser ce type d'exercice dès maintenant vous donnera un avantage compétitif majeur dès les premiers mois de la classe de Seconde, où les systèmes sont abordés de manière beaucoup plus systématique.