Introduction aux probabilités au Brevet

L'exercice 1 du sujet du Brevet 2015 (Zone Etrangers) porte sur une notion fondamentale du programme de troisième : les probabilités. Dans cet exercice, on utilise une situation concrète, celle d'une grille numérotée de 1 à 9, pour tester la capacité des élèves à dénombrer des issues et à calculer des probabilités simples dans une situation d'équiprobabilité. Les probabilités représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. Maîtriser le vocabulaire (événement, issue, expérience aléatoire) est essentiel pour réussir. Ici, l'expérience consiste à allumer une case au hasard, ce qui implique que chaque case a la même chance d'être choisie : c'est la loi d'équiprobabilité.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est divisé en deux parties distinctes qui demandent une lecture attentive de l'énoncé. Comme indiqué, aucune justification n'est attendue, mais pour votre préparation, il est crucial de comprendre le raisonnement sous-jacent.

Question 1.a : Probabilité d'une issue unique

On nous demande la probabilité que la case 1 s'allume. La grille comporte 9 cases au total. Puisque le choix se fait au hasard, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La formule de base est : P = (nombre d'issues favorables) / (nombre d'issues totales). Ici, il n'y a qu'une seule case portant le chiffre 1. Le nombre d'issues favorables est donc 1. Le nombre total d'issues est 9. La probabilité est donc $\dfrac{1}{9}$.

Question 1.b : Probabilité d'un événement composé (nombres impairs)

Ici, on s'intéresse aux chiffres impairs présents dans la grille. Listons-les : 1, 3, 5, 7 et 9. Il y a donc 5 issues favorables. Le nombre total de cases reste 9. En appliquant la même formule que précédemment, la probabilité qu'une case marquée d'un chiffre impair s'allume est de $\dfrac{5}{9}$.

Question 1.c : Définir un événement de probabilité $\dfrac{1}{3}$

C'est une question de réflexion inverse. Pour obtenir une probabilité de $\dfrac{1}{3}$, sachant que le dénominateur total est 9, il faut trouver un événement qui correspond à 3 issues favorables (car $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$). Plusieurs réponses sont possibles :
- "La case allumée porte un multiple de 3" (les cases 3, 6, 9).
- "La case allumée se situe sur la première ligne" (les cases 1, 2, 3).
- "La case allumée porte un chiffre compris entre 4 et 6 inclus".

Question 2 : Probabilité conditionnelle et géométrie de la grille

Cette question est plus subtile. On nous dit que les cases 1 et 7 sont déjà allumées. On appuie à nouveau sur le bouton. Il ne reste donc plus que 7 cases éteintes (les cases 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9). L'univers des possibles est désormais réduit à 7 issues. On cherche la probabilité que les trois cases allumées soient alignées. Observons la grille avec 1 et 7 : l'alignement possible avec ces deux points est uniquement vertical sur la première colonne (1-4-7). Pour que les trois cases soient alignées, il faut impérativement que la case 4 s'allume. Il n'y a qu'une seule issue favorable parmi les 7 restantes. La probabilité est donc $\dfrac{1}{7}$.

Les Pièges classiques à éviter

Le premier piège dans cet exercice est de mal compter le nombre total d'issues à la question 2. Beaucoup d'élèves gardent 9 comme dénominateur, oubliant que deux cases sont déjà occupées. Il faut toujours bien identifier l'univers de l'expérience aléatoire au moment où elle se produit. Un autre piège est de confondre les chiffres pairs et impairs ou d'oublier que le chiffre 1 est impair. Enfin, dans la question 1.c, assurez-vous que votre événement contient exactement 3 issues et non plus, sinon la fraction ne se simplifiera pas en $\dfrac{1}{3}$.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Même si l'énoncé précise "aucune justification n'est attendue", il est recommandé sur votre brouillon de toujours écrire la formule $P = \frac{n}{N}$. Le jour de l'examen, si la justification est demandée, présentez vos résultats sous forme de fractions simplifiées ou de nombres décimaux (si l'énoncé le permet). Pour la question 2, précisez bien que vous travaillez sur les cases restantes pour montrer au correcteur que vous avez compris que l'univers a changé. Une phrase claire comme "Il reste 7 cases possibles, seule la case 4 permet l'alignement" suffit à sécuriser vos points.