Introduction : La géométrie au service de l'architecture

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2015 en Polynésie est un cas pratique passionnant qui lie les mathématiques pures à la menuiserie. Dans cet énoncé, nous accompagnons Germaine dans la conception d'un limon d'escalier. Pour réussir cet exercice, deux piliers du programme de 3ème sont sollicités : le Théorème de Pythagore pour les calculs de longueurs dans un triangle rectangle et le Théorème de Thalès pour l'étude des rapports de proportionnalité entre des segments parallèles. Maîtriser ces deux notions est indispensable pour obtenir une note maximale lors de l'épreuve de mathématiques.

Analyse Question 1 : Le calcul de la longueur ED avec Pythagore

La première étape consiste à calculer la longueur totale du limon représentée par le segment [ED]. Pour ce faire, il faut identifier le triangle rectangle approprié. Sur le croquis, nous observons que le triangle EBD est rectangle en B. En effet, la hauteur sous plafond et l'épaisseur de la dalle forment une ligne verticale perpendiculaire au sol horizontal (EB).

Avant d'appliquer le théorème, il est crucial de déterminer la longueur du côté vertical [BD]. L'énoncé nous donne deux informations : la hauteur sous plafond est de $250$ cm et l'épaisseur de la dalle est de $20$ cm. Les points B, C et D étant alignés, la longueur totale $BD$ est la somme de ces deux valeurs : $BD = 250 + 20 = 270$ cm.

Nous connaissons également la base $EB = 360$ cm. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle EBD rectangle en B :
$ED^2 = EB^2 + BD^2$
$ED^2 = 360^2 + 270^2$
$ED^2 = 129\,600 + 72\,900 = 202\,500$.
En prenant la racine carrée, nous obtenons $ED = \sqrt{202\,500} = 450$ cm. La démonstration est ainsi complétée avec rigueur.

Analyse Question 2 : Thalès et la précision des mesures

La seconde question demande de calculer les dimensions AC et AE de la planche. Ici, l'énoncé précise que les droites (AC) et (ED) sont parallèles. C'est le signal immédiat pour utiliser le Théorème de Thalès. Nous nous plaçons dans le triangle EBD, où les points B, A, E d'une part et B, C, D d'autre part sont alignés.

Le rapport de Thalès s'établit comme suit : $\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{ED}$.
Nous connaissons $BC = 250$ cm, $BD = 270$ cm et $ED = 450$ cm.
1. Calcul de AC : En utilisant l'égalité $\frac{BC}{BD} = \frac{AC}{ED}$, nous avons $\frac{250}{270} = \frac{AC}{450}$. Par un produit en croix, $AC = \frac{250 \times 450}{270} \approx 416,66...$ cm. L'arrondi au centimètre près nous donne $AC \approx 417$ cm.
2. Calcul de AE : Calculons d'abord BA. $\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BD} \implies \frac{BA}{360} = \frac{250}{270}$. On obtient $BA = \frac{360 \times 250}{270} \approx 333,33...$ cm. Puisque $AE = BE - BA$, nous avons $AE = 360 - 333,33... \approx 26,66...$ cm. L'arrondi au centimètre nous donne $AE \approx 27$ cm.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Le premier piège de cet exercice réside dans l'oubli de l'épaisseur de la dalle. Beaucoup d'élèves utilisent $250$ cm au lieu de $270$ cm pour la hauteur totale. Soyez vigilants sur la lecture du schéma !
Le second piège concerne les arrondis. Si l'énoncé demande un arrondi au centimètre, ne donnez pas trois décimales. Enfin, n'oubliez jamais de citer les conditions d'application des théorèmes (droites parallèles pour Thalès, triangle rectangle pour Pythagore) pour garantir vos points de rédaction.

Conseil de Rédaction : La structure gagnante

Pour chaque question, adoptez la structure suivante :
1. 'On sait que...' (énumérez les données utiles et les propriétés comme la perpendicularité).
2. 'Or, d'après le théorème de [Nom du Théorème]...'
3. 'Donc...' (réalisez le calcul étape par étape).
4. Conclusion par une phrase claire incluant l'unité (cm).