Introduction aux notions fondamentales : Probabilités et Arithmétique

L'exercice 2 du Sujet0Vb pour le Brevet 2026 est une synthèse parfaite entre deux piliers du programme de mathématiques de troisième : les probabilités et l'arithmétique. L'énoncé nous place dans une situation classique de tirage aléatoire avec une urne contenant 21 jetons numérotés de $1$ à $21$. Comme les jetons sont indiscernables au toucher, nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Cela signifie que chaque jeton a exactement la même chance d'être tiré, soit une probabilité de $\frac{1}{21}$. Comprendre ce concept est le point de départ indispensable pour traiter n'importe quel problème de probabilités au collège.

Analyse détaillée de la question 1 : Calculer la probabilité de l'évènement A

L'évènement $A$ consiste à obtenir l'un des trois numéros suivants : $2$, $3$ ou $10$. Pour calculer la probabilité d'un évènement dans une situation d'équiprobabilité, on utilise la formule fondamentale : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. Ici, les issues favorables sont au nombre de 3 (ce sont les jetons portant les numéros cités). Le nombre total d'issues correspond au nombre total de jetons dans l'urne, soit 21. On obtient donc : $P(A) = \frac{3}{21}$.

Cependant, la consigne exige une fraction irréductible. C'est ici que l'arithmétique intervient. Nous devons simplifier la fraction en cherchant le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 3 et 21. Puisque $21 = 3 \times 7$, le diviseur commun est 3. En divisant le numérateur et le dénominateur par 3, nous obtenons $P(A) = \frac{1}{7}$. Cette étape de simplification est cruciale pour obtenir l'intégralité des points lors de l'examen du Brevet.

Analyse détaillée de la question 2 : Diviseurs et probabilités

La deuxième partie de l'exercice lie directement le dénombrement à la recherche de diviseurs, une notion clé de l'arithmétique de 3ème. L'évènement $B$ est défini par : « obtenir un jeton dont le numéro est un diviseur de 24 ».

Question 2.a : Lister les issues de l'évènement B

Pour ne pas oublier de diviseurs, la méthode la plus efficace consiste à les lister par paires : $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$. La liste complète des diviseurs de 24 est donc : $\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$. Cependant, attention au contexte ! L'urne ne contient que des jetons numérotés jusqu'à $21$. Le nombre $24$ ne peut donc pas être tiré. Les issues possibles pour l'évènement $B$ dans cette expérience aléatoire sont donc : $\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12\}$.

Question 2.b : Calculer la probabilité de l'évènement B

En comptant les issues listées précédemment, nous en trouvons 7. La probabilité de l'évènement $B$ est donc $P(B) = \frac{7}{21}$. À nouveau, une simplification s'impose. En remarquant que $21$ est un multiple de $7$ ($21 = 7 \times 3$), on peut simplifier par 7 pour obtenir $P(B) = \frac{1}{3}$. Cela signifie qu'il y a une chance sur trois de tirer un diviseur de 24 parmi les 21 jetons disponibles.

Les pièges classiques à éviter au Brevet

Plusieurs erreurs récurrentes peuvent coûter des points sur ce type d'exercice :

• L'oubli de l'univers : Dans la question 2.a, citer 24 comme issue alors que l'urne s'arrête à 21. Il faut toujours confronter les propriétés mathématiques (diviseurs) aux contraintes physiques de l'exercice.
• La confusion entre diviseur et multiple : Rappelez-vous qu'un diviseur d'un nombre est plus petit ou égal à ce nombre. Si vous cherchez les diviseurs de 24, vous ne devriez pas trouver de nombres comme 48 ou 72.
• La fraction non simplifiée : Ne pas donner le résultat sous forme irréductible est souvent pénalisé. Prenez l'habitude de vérifier si le numérateur et le dénominateur sont dans la même table de multiplication.

Conseils de rédaction pour maximiser les points

Pour séduire le correcteur le jour J, structurez votre réponse : 1. Nommez l'évènement. 2. Rappelez la formule utilisée (cas favorables / cas possibles). 3. Énoncez clairement la condition d'équiprobabilité (jetons indiscernables). 4. Présentez vos calculs de simplification. Une phrase de conclusion du type « La probabilité d'obtenir un diviseur de 24 est de $\frac{1}{3}$ » permet de clôturer proprement votre démonstration. La clarté du raisonnement est tout aussi importante que la justesse du résultat numérique.