Introduction aux notions de Géométrie Plane du Brevet 2026

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2026 (Zone Sujet0Va) est une étude de cas classique mais exigeante mêlant géométrie plane, calcul d'aires et analyse de figures imbriquées. Les notions abordées sont fondamentales pour tout élève de 3ème : la caractérisation d'un polygone régulier, le calcul d'aires par soustraction (méthode de complémentarité) et l'utilisation des pourcentages pour comparer des grandeurs. Cet exercice met en lumière la relation entre un carré, un octogone construit à partir de ses sommets et un cercle inscrit. La maîtrise de ces concepts est un levier majeur pour obtenir une mention très bien.

Analyse Méthodique de la Question 1 : L'Octogone IJKLMNOP

Dans la première partie de l'exercice, nous travaillons sur un carré ABCD de côté $9$ cm. Le codage de la figure nous indique que les points I, J, K, L, M, N, O et P sont placés de telle sorte que chaque côté du carré est découpé en trois segments de même longueur. Ainsi, $AI = IJ = JB = 3$ cm.

1.a. Le polygone est-il régulier ?

Pour qu'un polygone soit régulier, il doit remplir deux conditions : tous ses côtés doivent avoir la même longueur et tous ses angles intérieurs doivent être égaux. L'énoncé se concentre ici sur la longueur des côtés.
Le côté [IJ] appartient au côté [AB] du carré. D'après le codage, $IJ = 3$ cm.
Le côté [IP] est l'hypoténuse du triangle rectangle API, rectangle en A. Dans ce triangle, $AP = 3$ cm et $AI = 3$ cm. En appliquant le théorème de Pythagore : $IP^2 = AI^2 + AP^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Donc $IP = \sqrt{18} \approx 4,24$ cm.
Puisque $3 \neq \sqrt{18}$, les côtés de l'octogone n'ont pas tous la même longueur. Le polygone n'est donc pas régulier. C'est un piège fréquent où l'élève se fie à l'aspect visuel plutôt qu'à la rigueur mathématique.

1.b. Justification de l'aire de 63 cm²

Pour calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP, la méthode la plus efficace est la soustraction d'aires. L'octogone est obtenu en retirant les quatre triangles rectangles isocèles situés aux coins du carré ABCD (les triangles API, BKJ, CLM et DON).
L'aire du carré ABCD est : $9 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} = 81 \text{ cm}^2$.
L'aire d'un seul triangle de coin (ex: API) est : $(3 \times 3) / 2 = 4,5 \text{ cm}^2$.
L'aire totale des quatre triangles est donc : $4 \times 4,5 = 18 \text{ cm}^2$.
L'aire de la surface grisée est donc : $81 - 18 = 63 \text{ cm}^2$. Cette démonstration rigoureuse permet de valider la valeur fournie par l'énoncé.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Le Disque et la Comparaison

La seconde partie introduit un disque de centre S, où S est le point d'intersection des diagonales du carré ABCD. Le diamètre du cercle est précisé à $9$ cm, ce qui correspond exactement à la longueur du côté du carré d'origine.

2.a. Calcul de l'aire du disque

La formule de l'aire d'un disque est $\pi \times R^2$. Le diamètre étant de $9$ cm, le rayon $R$ est de $4,5$ cm.
L'aire du disque est donc : $\pi \times 4,5^2 = 20,25\pi \approx 63,617 \text{ cm}^2$.
Il est crucial ici de garder la valeur exacte avant de passer à l'approximation pour la question suivante afin de ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi.

2.b. Analyse de l'écart et pourcentage

On nous demande de vérifier si la différence d'aire représente moins de $1\%$.
La différence d'aire est : $63,617 - 63 = 0,617 \text{ cm}^2$.
Le rapport de cette différence par rapport à l'aire du disque est : $0,617 / 63,617 \approx 0,0097$.
En multipliant par 100 pour obtenir le pourcentage, nous obtenons environ $0,97\%$.
Puisque $0,97\% < 1\%$, l'affirmation est exacte. Ce type de question est excellent pour tester la capacité de l'élève à utiliser des données calculées précédemment dans un contexte de comparaison relative.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

1. **L'unité** : Toujours vérifier que toutes les mesures sont dans la même unité. Ici, tout est en cm ou cm². Ne jamais oublier d'écrire l'unité dans la réponse finale.
2. **Pythagore** : Pour la question 1.a, beaucoup d'élèves pensent que si les triangles ont des côtés de 3cm, alors l'hypoténuse fait 3cm. Rappelez-vous que l'hypoténuse est toujours le côté le plus long.
3. **Le Diamètre vs Rayon** : Une erreur classique consiste à utiliser $9$ (le diamètre) à la place de $4,5$ dans la formule de l'aire du disque. Soyez vigilants !
4. **Arrondis** : Pour le calcul final du pourcentage, n'arrondissez pas trop tôt. Gardez au moins 3 chiffres après la virgule pour que votre résultat final soit précis.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points au Brevet, structurez vos réponses. Commencez par citer le théorème utilisé (exemple : "Dans le triangle API rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore..."). Présentez clairement vos calculs d'aires en deux étapes : la formule littérale, puis l'application numérique. Enfin, rédigez toujours une phrase de conclusion qui répond directement à la question posée (ex: "L'écart est bien inférieur à 1%"). Un correcteur appréciera la clarté et la logique de votre raisonnement, ce qui assure une note optimale même en cas d'erreur de calcul mineure.