Introduction à l'Arithmétique au Brevet 2026

L'arithmétique est une thématique récurrente de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Elle repose sur la compréhension des nombres entiers, des diviseurs et des multiples. Dans cet exercice issu du Sujet0Vb de 2026, nous abordons la notion de décomposition en facteurs premiers et son application concrète : la répartition de groupes homogènes. Maîtriser ces outils est essentiel car ils garantissent souvent des points faciles lors de l'examen si la rédaction est rigoureuse. L'objectif ici est de manipuler les nombres $91$ et $77$ pour résoudre un problème de logistique scolaire.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente un collège avec deux populations distinctes : $91$ filles et $77$ garçons. La contrainte est de former des groupes mixtes avec une répartition strictement identique dans chaque groupe. Cela signifie mathématiquement que nous cherchons un diviseur commun aux deux effectifs.

Question 1 : Décomposition en facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers est la base de l'arithmétique moderne. Elle consiste à écrire un nombre comme le produit exclusif de nombres premiers (nombres qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes).

Analysons $91$ : On teste les premiers nombres premiers. Il n'est pas pair (pas divisible par 2), la somme de ses chiffres est $10$ (pas divisible par 3), il ne finit pas par 0 ou 5 (pas divisible par 5). En testant 7, on trouve $91 = 7 \times 13$. Comme 7 et 13 sont des nombres premiers, la décomposition est finie.

Analysons $77$ : Ce nombre est plus intuitif. On reconnaît immédiatement la table de 7 ou de 11. On obtient $77 = 7 \times 11$. Là encore, 7 et 11 étant premiers, nous avons notre résultat.

Question 2 : Le PGCD et le nombre maximal de groupes

L'énoncé demande de former le nombre maximum de groupes. Puisque chaque groupe doit avoir le même nombre de filles et de garçons, le nombre de groupes doit être un diviseur commun de $91$ et $77$. Pour que ce nombre soit maximal, on cherche donc le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

Grâce aux décompositions précédentes :
- $91 = 7 \times 13$
- $77 = 7 \times 11$
On observe que le seul facteur commun est le nombre $7$. Par conséquent, le PGCD de $91$ et $77$ est $7$. On pourra former au maximum $7$ groupes. Cette étape nécessite une phrase d'explication claire : "Le nombre de groupes doit diviser 91 et 77. Pour qu'il soit maximal, il doit être égal au PGCD de ces deux nombres."

Question 3 : Composition des groupes

Une fois le nombre de groupes déterminé, il suffit de répartir les effectifs totaux. Pour les filles : $91 \div 7 = 13$ filles par groupe. Pour les garçons : $77 \div 7 = 11$ garçons par groupe. Le total d'élèves par groupe sera donc la somme de ces deux résultats : $13 + 11 = 24$ élèves. Cette vérification permet de s'assurer de la cohérence du résultat final.

Les Pièges et Erreurs Classiques

Attention à ne pas s'arrêter à la recherche des diviseurs simples. Certains élèves oublient de justifier le côté "maximal" du nombre de groupes en utilisant le terme PGCD. Un autre piège fréquent concerne le nombre $91$. Beaucoup d'élèves pensent à tort que $91$ est un nombre premier. Il faut toujours tester la divisibilité par $7$ ou $13$ quand les tests par $2, 3, 5$ échouent. Enfin, n'oubliez pas de sommer les filles et les garçons dans la dernière question pour donner le nombre total d'élèves, et non juste le nombre par catégorie.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir l'intégralité des points, votre copie doit faire apparaître :
1. Les calculs de décomposition clairement posés.
2. L'identification explicite du facteur commun.
3. Une conclusion textuelle répondant précisément à la question posée (ex: "On peut former au maximum 7 groupes").
4. L'unité dans la réponse finale ("élèves"). La clarté de votre raisonnement logique pèse autant que le résultat numérique aux yeux de l'examinateur.

Pourquoi l'arithmétique est-elle cruciale ?

Au-delà du Brevet, comprendre les nombres premiers et les diviseurs est fondamental pour simplifier des fractions, trouver des dénominateurs communs ou même en informatique (cryptographie). En classe de 3ème, c'est l'exercice qui permet de stabiliser les bases du calcul mental et de la logique déductive. En maîtrisant cet exercice 4 du Sujet0Vb, vous vous assurez une base solide pour toutes les questions de spécialité mathématiques au lycée.