Introduction aux notions de géométrie plane au Brevet

L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet 2017 (Série Générale - Zone Polynésie) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane, notamment la maîtrise du théorème de Pythagore et l'étude de la parallélité de deux droites dans une configuration de Thales ou via les propriétés des triangles semblables.

Dans cet exercice, l'élève est d'abord confronté à une tâche de construction géométrique précise, suivie d'un calcul de longueur faisant appel à la racine carrée. Enfin, une question de raisonnement géométrique vient clore l'exercice : il s'agit de prouver, ou d'infirmer, le parallélisme de deux droites à l'aide des rapports de longueurs.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Construction et calcul dans le triangle rectangle

La première partie demande de tracer un triangle $CDE$ rectangle en $D$. Il est crucial de respecter les dimensions données : $CD = 6,8$~cm et $DE = 3,4$~cm. L'utilisation d'une équerre précise et d'une règle graduée est indispensable pour la validité du tracé.

Pour la question 1.b, nous devons calculer la longueur de l'hypoténuse $CE$. Puisque le triangle $CDE$ est rectangle en $D$, nous appliquons le théorème de Pythagore. L'énoncé du théorème nous dit : $CE^2 = CD^2 + DE^2$. En remplaçant par les valeurs numériques :

• $CE^2 = 6,8^2 + 3,4^2$
• $CE^2 = 46,24 + 11,56$
• $CE^2 = 57,8$

Pour obtenir $CE$, on calcule la racine carrée : $CE = \sqrt{57,8} \approx 7,602...$. L'énoncé impose un arrondi au dixième de centimètre. On regarde le chiffre des centièmes (0), donc l'arrondi est de $7,6$~cm.

2. Placement des points et étude du parallélisme

Dans la seconde phase, les points $F$ et $G$ sont placés sur les segments $[CD]$ et $[CE]$. On nous donne $CF = 2$~cm et $FG = 1$~cm. La question cruciale est : les droites $(FG)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

Pour répondre à cela, nous analysons les rapports de proportionnalité dans le triangle. Si les droites étaient parallèles, d'après le théorème de Thales, nous devrions avoir l'égalité des rapports : $\frac{CF}{CD} = \frac{FG}{DE} = \frac{CG}{CE}$.

Calculons les deux premiers rapports :

• Rapport 1 : $\frac{CF}{CD} = \frac{2}{6,8} = \frac{20}{68} = \frac{5}{17} \approx 0,294$
• Rapport 2 : $\frac{FG}{DE} = \frac{1}{3,4} = \frac{10}{34} = \frac{5}{17} \approx 0,294$

Les rapports sont strictement égaux. Cependant, cela suffit-il pour affirmer que les droites sont parallèles ? Dans cette configuration, si $(FG)$ est parallèle à $(DE)$, alors l'angle $\widehat{CFG}$ doit être égal à l'angle $\widehat{CDE}$ (angles correspondants). Comme $\widehat{CDE} = 90^\circ$, le triangle $CFG$ devrait être rectangle en $F$. On peut vérifier cela avec Pythagore dans $CFG$ si l'on connaissait $CG$. Mais ici, l'égalité des rapports $\frac{CF}{CD}$ et $\frac{FG}{DE}$ couplée au fait que l'angle en $C$ est commun aux triangles $CFG$ et $CDE$ (configuration de triangles semblables) permet de conclure positivement sur le parallélisme via la réciproque ou la contraposée des propriétés de Thalès adaptées aux rapports de côtés.

Les Pièges à Éviter

Attention à la rédaction ! Beaucoup d'élèves oublient de préciser que le triangle est rectangle avant d'utiliser Pythagore. C'est une condition sine qua non pour que le correcteur valide votre raisonnement.

Un autre piège réside dans l'arrondi. Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs (par exemple en prenant $6,8^2 \approx 46$), le résultat final sera faux. Gardez toujours les valeurs exactes jusqu'à la dernière étape. Enfin, pour la question du parallélisme, ne vous contentez pas de dire "ça se voit sur le dessin". Un raisonnement mathématique basé sur les rapports de longueurs est obligatoire.

Conseils pour la Rédaction le jour du Brevet

Pour obtenir le maximum de points :

1. Citez explicitement le théorème utilisé : "Dans le triangle CDE rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore...".
2. Présentez vos calculs de manière aérée : une ligne par étape.
3. N'oubliez pas l'unité (cm) dans votre phrase de conclusion.
4. Pour le parallélisme, calculez les rapports séparément avant de les comparer. Ne partez pas d'une égalité que vous n'avez pas encore prouvée.