Introduction aux notions de l'exercice 4 du Brevet 2017

L'exercice 4 du sujet de Mathématiques du Brevet 2017 (Série Générale - Métropole) est un problème de synthèse particulièrement complet. Il mobilise trois piliers du programme de 3ème : le calcul d'aires et de périmètres, l'application du théorème de Pythagore dans une configuration géométrique complexe, et la proportionnalité appliquée à la gestion d'un budget et de stocks (pourcentages). Ce type d'exercice, ancré dans une situation concrète (la rénovation d'un salon), est un classique du DNB qui teste la capacité de l'élève à extraire des informations de plusieurs documents et à structurer un raisonnement en plusieurs étapes.

Analyse méthodologique de la Question 1 : Géométrie et Aires

La première difficulté consiste à décoder le plan fourni dans le Document 1. Pour calculer l'aire de la pièce (partie grisée), deux stratégies sont possibles : la décomposition en formes simples (un rectangle et un trapèze) ou la méthode par soustraction. Le sujet guide l'élève vers la soustraction en demandant d'abord l'aire du triangle $BCH$.

Pour le triangle $BCH$, il faut identifier les dimensions manquantes par soustraction des longueurs données sur les axes. Si $GD = 7$ m et que l'on observe le rectangle virtuel $ADHG$ (de $7$ m par $5$ m), on en déduit que $BH = GH - GB = 7 - 4 = 3$ m. De même, $CH = DH - DC$. Comme $DH = AG = 5$ m et $DC = 3$ m (donné), alors $CH = 5 - 3 = 2$ m. L'aire du triangle rectangle $BCH$ est donc : $\frac{BH \times CH}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ m².

Pour montrer que l'aire de la pièce est de $32$ m², on soustrait l'aire du triangle $BCH$ à l'aire du grand rectangle fictif $ADHG$ ($7 \times 5 = 35$ m²). On obtient bien $35 - 3 = 32$ m². Ce résultat est crucial car il sert de base à tout le reste de l'exercice.

Analyse de la Question 2 : Proportionnalité et gestion des stocks

Ici, l'élève doit manipuler les pourcentages. Le vendeur conseille une marge de $10\%$. L'aire à couvrir n'est plus $32$ m² mais $32 \times 1,10 = 35,2$ m².

Concernant le carrelage, chaque boîte couvre $1,25$ m². Le calcul est $35,2 / 1,25 = 28,16$. Attention au piège classique : dans la réalité (et selon la consigne "boîtes entières"), on ne peut pas acheter $0,16$ boîte. Il faut donc arrondir à l'unité supérieure : **29 boîtes**.

Pour la colle, le rendement est de $4$ m² par sac. $35,2 / 4 = 8,8$. Là encore, l'arrondi par excès est obligatoire pour ne pas manquer de matière : **9 sacs**.

Analyse de la Question 3 : Périmètre et Théorème de Pythagore

C'est ici que le tag Pythagore prend tout son sens. Pour faire le tour de la pièce avec des plinthes, il faut calculer le périmètre extérieur. La longueur $BC$ n'est pas donnée. Cependant, nous avons montré que le triangle $BCH$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = BH^2 + CH^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Donc $BC = \sqrt{13} \approx 3,61$ m.

Le périmètre total de la pièce, en déduisant la largeur de la porte ($1$ m), est la somme des segments : $AB + BC + CD + DE + FG + GA$. Soit $4 + 3,61 + 3 + 5 + 1 + 5 = 21,61$ m. Avec la marge de $10\%$, la longueur nécessaire est $21,61 \times 1,10 \approx 23,77$ m. Puisque chaque plinthe mesure $1$ m, monsieur Chapuis doit acheter **24 plinthes**.

Conseils de rédaction et pièges à éviter

1. **Les Unités** : Assurez-vous que toutes vos mesures sont dans la même unité (ici le mètre) avant de faire des calculs de surface ou de prix. Les carreaux sont donnés en cm ($50 \times 50$), mais le conditionnement est en m². Il est plus simple de rester en m².

2. **La Justification** : Ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Pour Pythagore, citez le triangle, l'angle droit et le nom du théorème. Pour les achats, expliquez pourquoi vous arrondissez à l'unité supérieure (contrainte d'achat par boîte/sac entier).

3. **La porte** : L'oubli de soustraire la largeur de la porte dans le calcul du périmètre est l'erreur la plus fréquente sur ce sujet. Relisez bien l'énoncé qui précise "pas de plinthe sur la porte".

Calcul final du budget (Question 4)

Le montant total se calcule en sommant les postes de dépense :
- Carrelage : $29 \times 19,95 = 578,55$ €
- Colle : $9 \times 22 = 198,00$ €
- Plinthes : $24 \times 2,95 = 70,80$ €
- Clous : $1 \times 5,50 = 5,50$ €
**Total : 852,85 €**, soit **853 €** arrondi à l'euro près.